Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，A(a,0)，C(b,4)，且滿足(a+4)2+=0，過C作CB⊥x軸于B。

（1）求三角形ABC的面積；

（2）如圖2，若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度數(shù)；

（3）在y軸上是否存在點P，使得三角形ACP和三角形ABC的面積相等?若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）S三角形ABC=16；（2）∠AED==45°；（3）存在，P點的坐標為（0，﹣2）或（0，6）.

【解析】

（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)易得a=-4，b=4，然后根據(jù)三角形面積公式計算；
（2）過E作EF∥AC，根據(jù)平行線性質(zhì)得BD∥AC∥EF，且∠3=∠CAB=∠1，∠4=∠ODB=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=（∠CAB+∠ODB）；然后把∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°代入計算即可．

（3）分類討論：設(shè)P（0，t），當P在y軸正半軸上時，過P作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，利用S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=8可得到關(guān)于t的方程，再解方程求出t.

解：（1）∵

∴a+4=0，b﹣4=0，

∴a=﹣4，b=4，

∴A（﹣4，0），C（4，4）．

∵CB⊥AB，∴B（4，0），

∴AB=8，CB=4，則S三角形ABC=×8×4=16．

（2）如圖甲，過E作EF∥AC．

∵CB⊥x軸，

∴CB∥y軸，∠CBA=90°，

∴∠ODB=∠6．

又∵BD∥AC，

∴∠CAB=∠5，

∴∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=180°﹣∠CBA=90°．

∵BD∥AC，

∴BD∥AC∥EF，

∴∠1=∠3，∠2=∠4．

∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，

∴∠3=∠CAB，∠4=∠ODB，

∴∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4=（∠CAB+∠ODB）=45°．

（3）①當P在y軸正半軸上時，如圖乙．

設(shè)點P（0，t），分別過點P，A，B作MN∥x軸，AN∥y軸，BM∥y軸，交于點M，N，則AN=t，CM=t﹣4，MN=8，PM=PN=4．

∵S三角形ABC=16，

∴S三角形ACP=S梯形MNAC﹣S三角形ANP﹣S三角形CMP=16，

∴×8（t﹣4+t）﹣×4t﹣×4（t﹣4）=16，解得t=6，即點P的坐標為（0，6）．

②當P在y軸負半軸上時，如圖丙，同①作輔助線．

設(shè)點P（0，a），則AN=﹣a，CM=﹣a+4，PM=PN=4．

∵S三角形ACP=S梯形MNAC﹣S三角形ANP﹣S三角形CMP=16，

∴×8（﹣a+4﹣a）﹣×4（﹣a）﹣×4（4﹣a）=16，

解得a=﹣2，

∴點P的坐標為（0，﹣2）．

綜上所述，P點的坐標為（0，﹣2）或（0，6）．