Question

【題目】已知：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)（，是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點、點，其中，直線交軸于點．過點作軸的垂線，垂足為，過點作軸的垂線，垂足為，與相交于點，連接．

(1)若的面積為，求點的坐標(biāo)；

(2)求證：四邊形為平行四邊形；

(3)若，求直線的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】(1)點；(2)證明見解析；(3)直線的函數(shù)解析式為或．

【解析】

（1）先用待定系數(shù)法求出雙曲線解析式，再用點B在雙曲線上得出ab＝4，再用面積建立方程a（4﹣b）＝4，解方程組即可；

（2）先求出直線AB解析式：y＝﹣bx+b+4，再確定出DE，AC即可得到DE＝AC，從而得出結(jié)論；

（3）由（2）知，AB∥CD，結(jié)合AD＝BC，即可得出四邊形ABCD是平行四邊形或等腰梯形．分兩種情況計算即可．

（1）將A（1，4）代入函數(shù)中，得：m＝4，所以y；

∵S△ABDBDAMa（4﹣b）＝4．

∵B（a，b）在函數(shù)y的圖象上，∴ab＝4，∴a＝3，b，即：點B（3，）；

（2）∵函數(shù)y （x＞0，m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（1，4），∴m＝4．

∵B（a，b）在雙曲線上，∴ab＝4．

∵直線AB過點A（1，4），B（a，b），且ab=4，設(shè)直線AB解析式為y＝ex+f，∴ ，解得：e=－b，f=b+4，∴直線AB解析式為y＝﹣bx+b+4，∴E（0，b+4）．

∵BD⊥y軸，AC⊥x軸，∴D（0，b），∴DE＝b+4﹣b＝4．

∵A（1，4），∴AC＝4，∴DE＝AC．

∵DE∥AC，∴四邊形ACDE為平行四邊形；

（3）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y＝kx+b．

∵CD∥AB，AD＝BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形或等腰梯形．

情況1：四邊形ABCD為平行四邊形，則DM＝MB，∴a﹣1＝1，a＝2，∴B（2，2）．

∵A（1，4）、B（2，2）在直線AB上，∴直線AB解析式為：y＝﹣2x+6；

情況2：四邊形ABCD為等腰梯形，則AC＝BD，∴a＝4，∴B（4，1）．

∵A（1，4）、B（4，1）在直線AB上，直線AB解析式為：y＝﹣x+5．

綜上所述：直線AB的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+6或y＝﹣x+5．