【題目】如圖,矩形ABCD中,點P為AD上一個動點,以PB 為對稱軸將△APB折疊得到△EPB,點A的對稱點為點E,射線BE交矩形ABCD的邊于點 F,若AB=4,AD=6,當(dāng)點F為矩形ABCD邊的中點時,AP的長為_____.
【答案】或.
【解析】
分兩種情形:如圖1中,當(dāng)點F是AD的中點時.如圖2中,當(dāng)點F是CD的中點時,延長AD交BF的延長線于H.分別求解即可.
解:如圖1中,當(dāng)點F是AD的中點時,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,AB=6,AF=3,
∴BF===5,
由翻折可知:AB=BE=4,設(shè)PA=PE=x,則PF=3﹣x,EF=5﹣4=1,
在Rt△PEF中,∵PE2+EF2=PF2,
∴x2+12=(3﹣x)2,
∴x=,
∴PA=
如圖2中,當(dāng)點F是CD的中點時,延長AD交BF的延長線于H.
∵∠C=90°,BC=6,CF=DF=2,
∴BF==2,
∵DH∥BC,
∴∠H=∠FBC,
∵∠DFH=∠BFC,DF=FC,
∴△DHF≌△CBF(AAS),
∴DH=BC=6,FH=BF=2,
∵AB=BE=4,
∴EF=2﹣4,EH=2﹣4+2=4﹣4,
設(shè)PA=PE=y,則PD=6﹣y,PH=6﹣y+6=12﹣y,
在Rt△PEH中,∵PE2+EH2=PH2,
∴y2+(4﹣4)2=(12﹣y)2,
∴y=,
∴PA=,
綜上所述,PA的長為或.
故答案為:或.
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【題目】如圖,在中,,的平分線交邊于點.以上一點為圓心作,使經(jīng)過點和點.
(1)判斷直線與的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)若,.
①求的半徑;
②設(shè)與邊的另一個交點為,求線段,與劣弧所圍成的陰影部分的面積.(結(jié)果保留根號和)
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【題目】如圖,四邊形ABCD的外接圓為⊙O,AD是⊙O的直徑,過點B作⊙O的切線,交DA的延長線于點E,連接BD,且∠E=∠DBC.
(1)求證:DB平分∠ADC;
(2)若CD=9,tan∠ABE=,求⊙O的半徑.
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【題目】已知在中,,,點為射線上一點(與點不重合),過點作于點,且(點與點在射線同側(cè)),連接,.
(1)如圖1,當(dāng)點在線段上時,請直接寫出的度數(shù).
(2)當(dāng)點在線段的延長線上時,依題意在圖2中補(bǔ)全圖形并判斷(1)中結(jié)論是否成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
(3)在(1)的條件下,與相交于點,若,直接寫出的最大值.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,點D、E分別在邊BC、AC上,點F在DE的延長線上,AD=AF,AECE=DEEF.
(1)求證:△ADE∽△ACD;
(2)如果AEBD=EFAF,求證:AB=AC.
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【題目】商丘市梁園區(qū)緊緊圍繞十九大報告提出的階段性目標(biāo)任務(wù),深化農(nóng)業(yè)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,調(diào)整種植結(jié)構(gòu),深入進(jìn)行了四大結(jié)構(gòu)調(diào)整,分別是:水池鋪鄉(xiāng)的辣椒產(chǎn)業(yè)、劉口鄉(xiāng)的雜果基地,孫福集鄉(xiāng)的山藥、蓮藕產(chǎn)業(yè),雙八鎮(zhèn)的草莓產(chǎn)業(yè).目前,這四種產(chǎn)業(yè)享譽(yù)省內(nèi)外.
某外地客商慕名來商丘考查,他準(zhǔn)備購入山藥和草莓進(jìn)行試銷,經(jīng)市場調(diào)查,若購進(jìn)山藥和草莓各2箱共花費170元,購進(jìn)山藥3箱和草莓4箱共花費300元.
(1)求購進(jìn)山藥和草莓的單價;
(2)若該客商購進(jìn)了山藥和草莓共1000箱,其中山藥銷售單價為60元,草莓的銷售單價為70元.設(shè)購進(jìn)山藥x箱,獲得總利潤為y元.
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
②由于草莓的保鮮期較短,該客商購進(jìn)草莓箱數(shù)不超過山藥箱數(shù)的,要使銷售這批山藥和草莓的利潤最大,請你幫該客商設(shè)計一個進(jìn)貨方案,并求出其所獲利潤的最大值.
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【題目】已知:如圖,在△ABC中,點D、E分別在邊BC和AB上,且AD=AC,EB=ED,分別延長ED、AC交于點F.
(1)求證:△ABD∽△FDC;
(2)求證:AE2=BEEF.
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【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于點D.
(1)如圖1,點M,N分別在AD,AB上,且∠BMN=90°,當(dāng)∠AMN=30°,AB=2時,求線段AM的長;
(2)如圖2,點E,F分別在AB,AC上,且∠EDF=90°,求證:BE=AF;
(3)如圖3,點M在AD的延長線上,點N在AC上,且∠BMN=90°,求證:AB+AN=AM.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作,書中有一個問題:“今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等.交易其一,金輕十三兩.問金、銀一枚各重幾何?”.意思是:甲袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同),乙袋中裝有白銀11枚(每枚白銀重量相同),稱重兩袋相等.兩袋互相交換1枚后,甲袋比乙袋輕了13兩(袋子重量忽略不計).問黃金、白銀每枚各重多少兩?設(shè)每枚黃金重x兩,每枚白銀重y兩,根據(jù)題意得( )
A.
B.
C.
D.
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