Question

【題目】已知在中，，，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，且（點(diǎn)與點(diǎn)在射線同側(cè)），連接，．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．

（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意在圖2中補(bǔ)全圖形并判斷（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在（1）的條件下，與相交于點(diǎn)，若，直接寫出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）補(bǔ)全圖形，如圖所示，見解析；結(jié)論成立．證明見解析；（3）的最大值為1．

【解析】

（1）先判斷出，進(jìn)而得出，即可判斷出是等腰直角三角形；

（2）直接根據(jù)題意畫出圖形，同（1）的方法即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出PC最大，即可得出AP最小，利用點(diǎn)到直線的距離最小，得出時(shí)，AP最小，最后利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

（1）如圖1，

連接，

∵在中，，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴．

∴．

∴是等腰直角三角形．

∴．

（2）補(bǔ)全圖形，如圖2所示，

結(jié)論成立．

證明：

如圖，連接，

∵在中，，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴．

∴．

∴是等腰直角三角形．

∴．

（3）由（1）知，是等腰直角三角形，

∵，

∴，

當(dāng)最小時(shí)，最大，

即：時(shí)，最小，

∵，

∴，

在中，，

∴．

即：的最大值為1．