Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)G，H分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，直線GH與AB、AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AG、AH．
（1）當(dāng)BG=2，DH=3時(shí)，則GH：HF= ， ∠AGH=°；
（2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的長(zhǎng)；
（3）設(shè)BG=x，DH=y，若△ABG∽△FDH，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）1：3；90
（2）解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，BG=3，DH=1，

∴CG=1，CH=3，

∵CG∥DF，CH∥BE，

∴△CGH∽△BGE∽△DFH，

∴ = = ，即 = = ，

解得BE=9，DF= ，

∴Rt△BEG中，EG= = =3

（3）解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，BG=x，DH=y，

∴CG=4﹣x，CH=4﹣y，

由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，

∴△ABG∽△GCH，

∴ = ，即 = ，

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y= x2﹣x+4，

∵ = ，

∴4﹣y= =﹣ +x，

∴當(dāng)x=﹣ =2時(shí)，4﹣y有最大值，且最大值為﹣ ×4+2=1，

∴0＜4﹣y≤1，

解得3≤y＜4．

【解析】解：（1）解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，BG=2，DH=3， ∴CG=2，CH=1，
∵DF∥CG，
∴△FDH∽△GCH，
∴ = = ，
∵Rt△GCH中，GH2=CG2+CH2=5，
Rt△ABG中，AG2=AB2+BG2=20，
Rt△ADH中，AH2=AD2+DH2=25，
∴GH2+AG2=AH2 ，
∴△AGH是直角三角形，且∠AGH=90°．
所以答案是：1：3，90

（1）根據(jù)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，BG=2，DH=3，可得CG=2，CH=1，再根據(jù)DF∥CG，得出△FDH∽△GCH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得GH：HF的值，最后根據(jù)勾股定理的逆定理，判定△AGH是直角三角形，且∠AGH=90°即可；（2）根據(jù)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，BG=3，DH=1，得出CG=1，CH=3，再根據(jù)CG∥DF，CH∥BE，可得△CGH∽△BGE∽△DFH，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理，求得DF、EG的長(zhǎng)；（3）根據(jù)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，BG=x，DH=y，得出CG=4﹣x，CH=4﹣y，由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，進(jìn)而得出△ABG∽△GCH，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y= x2﹣x+4，最后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求得3≤y＜4即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)，掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a，以及對(duì)勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．