Question

【題目】如圖，已知點P是⊙O外一點，PB切⊙O于點B，BA 垂直O(jiān)P于C，交⊙O于點A，連接PA、AO，延長AO，交⊙O于點E．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若tan∠CAO= ，且OC=4，求PB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB，則OA=OB，

∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分線，∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

∵ ，

∴△PAO≌△PBO（SSS），

∴∠PAO=∠PBO，

∵PB為⊙O的切線，B為切點，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切線；

（2）解：∵tan∠CAO= = ，且OC=4，

∴AC=6，

∴AB=12

在Rt△ACO中，AO= = =2 ．

顯然△ACO∽△PAO，

∴ = ，即 = ，

∴PA=3 ，

∴PB=PA=3 ．

【解析】（1）證明△PAO≌△PBO，根據(jù)全等三角形的對應角相等證得∠PAO=∠PBO，則∠PBO=90°，根據(jù)切線的判定定理證得；（2）在Rt△ACO中，利用勾股定理求得OA的長，然后根據(jù)△ACO∽△PAO，利用相似三角形的對應邊的比相等求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解解直角三角形(解直角三角形的依據(jù)：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法))．