【題目】某班“手拉手”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)互助小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究時(shí),遇到以下問(wèn)題,請(qǐng)你逐一加以解答:
(1)如圖1,正方形ABCD中,EF⊥GH,EF分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,GH分別交AD,BC于點(diǎn)G,H,則EF GH;(填“>”“=”或“<”)
(2)如圖2,矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,GH分別交AD,BC于點(diǎn)G,H,求證: =;
(3)如圖3,四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BC=3,CD=5,AD=7.5,AM⊥DN,點(diǎn)M,N分別在邊BC,AB上,求的值.
【答案】(1)=;(2)見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)首先過(guò)點(diǎn)A作AP∥GH,交BC于P,過(guò)點(diǎn)B作BQ∥EF,交CD于Q,交BQ于T,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)以及△ABP≌△BCQ的判定與性質(zhì),即可得出EF=GH;
(2)首先過(guò)點(diǎn)A作AP∥EF,交CD于P,過(guò)點(diǎn)B作BQ∥GH,交AD于Q,然后根據(jù)矩形的性質(zhì)以及△PDA∽△QAB的判定與性質(zhì),即可得出;
(3)首先過(guò)點(diǎn)D作平行于AB的直線,交過(guò)點(diǎn)A平行于BC的直線于R,交BC的延長(zhǎng)線于S,判定平行四邊形ABSR是矩形,由(1)結(jié)論得出,然后判定△ARD∽△DSC,運(yùn)用其性質(zhì)和勾股定理構(gòu)建方程,求解即可.
(1)如圖1中,過(guò)點(diǎn)A作AP∥GH,交BC于P,過(guò)點(diǎn)B作BQ∥EF,交CD于Q,交BQ于T,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB∥DC,AD∥BC,AB=BC,∠ABP=∠C=90°
∴四邊形BEFQ、四邊形PHGA都是平行四邊形,
∴AP=GH,EF=BQ.
又∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,
∴∠PBT+∠ABT=90°,∠ABT+∠BAT=90°,
∴∠CBQ=∠BAT,
在△ABP和△BCQ中,
,
∴△ABP≌△BCQ,
∴AP=BQ,
∴EF=GH,
故答案為:=;
(2)過(guò)點(diǎn)A作AP∥EF,交CD于P,過(guò)點(diǎn)B作BQ∥GH,交AD于Q,如圖2,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,AD∥BC.
∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形,
∴AP=EF,GH=BQ.
又∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,
∴∠QAT+∠AQT=90°,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠D=90°,
∴∠DAP+∠DPA=90°,
∴∠AQT=∠DPA,
∴△PDA∽△QAB,
∴,
∴;
(3)過(guò)點(diǎn)D作平行于AB的直線,交過(guò)點(diǎn)A平行于BC的直線于R,交BC的延長(zhǎng)線于S,如圖3,
則四邊形ABSR是平行四邊形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四邊形ABSR是矩形,
∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS.
∵AM⊥DN,
∴由(1)中的結(jié)論可得,
設(shè)SC=x,則AR=BS=3+x,
∵∠ADC=∠R=∠S=90°,
∴∠ADR+∠RAD=90°,∠ADR+∠SDC=90°,
∴∠RAD=∠CDS,
∴△ARD∽△DSC,
∴==,
∴DR=x,DS=(x+3),
在Rt△ARD中,∵AD2=AR2+DR2,
∴7.52=(x+3)2+(x)2,
整理得13x2+24x﹣189=0,解得x=3或﹣,
∴AR=6,AB=RS=,
∴=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是上海世博園內(nèi)的一個(gè)矩形花園,花園長(zhǎng)為100米,寬為50米,在它的四角各建有一個(gè)同樣大小的正方形觀光休息亭,四周建有與觀光休息亭等寬的觀光大道,其余部分(圖中陰影部分)種植的是不同花草.已知種植花草部分的面積為3600米2,那么矩形花園各角處的正方形觀光休息亭的邊長(zhǎng)為多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校計(jì)劃一次性購(gòu)買(mǎi)排球和籃球,每個(gè)籃球的價(jià)格比排球貴30元;購(gòu)買(mǎi)2個(gè)排球和3個(gè)籃球共需340元.
(1)求每個(gè)排球和籃球的價(jià)格:
(2)若該校一次性購(gòu)買(mǎi)排球和籃球共60個(gè),總費(fèi)用不超過(guò)3800元,且購(gòu)買(mǎi)排球的個(gè)數(shù)少于39個(gè).設(shè)排球的個(gè)數(shù)為m,總費(fèi)用為y元.
①求y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求m可取的所有值;
②在學(xué)校按怎樣的方案購(gòu)買(mǎi)時(shí),費(fèi)用最低?最低費(fèi)用為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)F從菱形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā),沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,圖2是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí),△FBC的面積y(cm2)隨時(shí)間x(s)變化的關(guān)系圖象,則a的值為( 。
A. B. 2 C. D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點(diǎn),BE⊥AC于點(diǎn)F,連接DF,下列四個(gè)結(jié)論:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④S四邊形CDEF=S△ABF.其中正確的結(jié)論有( )個(gè)
A.4B.3C.2D.1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠DAB=90°.
(Ⅰ)若AB=AD,求∠ACB的度數(shù);
(Ⅱ)連接AC,若AD=8,AB=6,對(duì)角線AC平分∠DAB,求AC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A(﹣1,4),B(2,n)兩點(diǎn),直線AB交x軸于點(diǎn)D.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸,垂足為C,連接AC交x軸于點(diǎn)E,求△AED的面積S.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y1=k1x+2與反比例函數(shù)y2=的圖象交于點(diǎn)A(4,m)和B(﹣8,﹣2),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)k1= ,k2= ;
(2)根據(jù)函數(shù)圖象可知,當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍是 ;
(3)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn).設(shè)直線OP與線段AD交于點(diǎn)E,當(dāng)S四邊形ODAC:S△ODE=3:1時(shí),求直線OP的解析式.
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【題目】綜合與探究
如圖,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為.連接AC,BC,DB,DC,
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時(shí),求的值;
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)M是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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