Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BD是對角線．分別過點A、C作AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，且AE=CF

（1）求證：AB∥CD

（2）若E是BF中點，且△ABE的面積為1，則四邊形ABCD的面積為________.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)6

【解析】

（1）由AE⊥BD，CF⊥BD，根據(jù)垂直的定義得到∠AEB=∠DFC，和已知AE=CF，BF=DE，推出△ABE≌△CDF，進而∠ABE=∠CDF，由內錯角相等兩直線平行即可得證；

（2）由（1）可知∠ABE=∠CDF，再結合AB=CD，BD=DB可證△ABD≌Rt△CDB，由Rt△ABE≌Rt△DCF可得BE=DF，結合E是BF中點即BE=EF，得S△ABD=3S△ABE，從而S四邊形ABCD=2S△ABD=6.

（1）證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°

∵AB=CD， AE=CF，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF

∴∠ABE=∠CDF

∴AB∥CD

（2）由（1）可知∠ABE=∠CDF，

∵AB=CD，BD=DB，

∴△ABD≌△CDB，

∴S△ABD=3S△CDB，

∵Rt△ABE≌Rt△DCF，

∴BE=DF，

∵E是BF中點，

∴BE=EF，

∴S△ABD=3S△ABE=3，

∴S四邊形ABCD=2S△ABD=6.

故答案為：6