【題目】如圖,AN∥CB,B、N在AC同側(cè),BM、CN交于點D,AC=BC,且∠A+∠MDN=180°.
(1)如圖1,當∠NAC=90°,求證:BM=CN;
(2)如圖2,當∠NAC為銳角時,試判斷BM與CN關系并證明;
(3)如圖3,在(1)的條件下,且∠MBC=30°,一動點E在線段BM上運動過程中,連CE,將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至CF,取BE中點P,連AP、FP.設四邊形APFC面積為S,若AM=﹣1,MC=1,在E點運動過程中,請寫出S的取值范圍 .
【答案】(1)詳見解析;(2)BM=CN,理由詳見解析;(3)1≤S≤3.
【解析】
(1)先證∠N=∠CMB,再證∠ACB=∠A,可推出△ACN≌△CBM,即可得出結(jié)論;
(2)如圖2,延長NA至G,使AG=CM,證△GAC≌△MCB,得到GC=MB,再證GC=CN,即可推出結(jié)論;
(3)如圖3﹣1,當點E在線段BM上運動至與點M重合時,四邊形APFC的面積最小,過點P分別作AC,BC的垂線,垂足分別為H,Q,求出此時四邊形APFC的面積;當圖3﹣2,當點E在線段BM上運動至與點B重合時,點P也與B,E重合,四邊形APFC的面積最大,此時A,C,F在同一條直線上,即△ABF的面積,求出其面積,即可寫出S的取值范圍.
(1)證明:∵∠NAC=90°,∠A+∠MDN=180°,
∴∠NDM=90°,
∴∠N+∠ACN=∠ACN+∠CMD=90°,
∴∠N=∠CMB,
∵AN∥CB,
∴∠A+∠ACB=180°,
∴∠ACB=∠A=90°,
∵AC=BC,
∴△ACN≌△CBM(AAS),
∴BM=CN;
(2)解:BM=CN,理由如下,
如圖2,延長NA至G,使AG=CM,
∵AN∥BC,
∴∠GAC=∠MCB,
又∵AC=BC,
∴△GAC≌△MCB(SAS),
∴GC=MB,∠G=∠BMC,
在四邊形AMDN中,∠NAC+∠MDN=180°,
∴∠N+∠AMD=180°,
又∵∠AMD+∠BMC=180°,
∴∠N=∠BMC,
∴∠N=∠G,
∴GC=CN,
∴BM=CN;
(3)∵AM=﹣1,MC=1,
∴AC=AM+MC=,
∴BC=,
由(1)知,∠ACB=90°,
又∵在Rt△MCB中,∠MBC=30°,
∴MC=BC=1,
如圖3﹣1,當點E在線段BM上運動至與點M重合時,四邊形APFC的面積最小,
過點P分別作AC,BC的垂線,垂足分別為H,Q,
∵點P是BE的中點,
∴PH=BC=,PQ=MC=,
∴S四邊形APFC=S△APC+S△PCF
=ACPH+CFPQ
=×××1×
=1;
當圖3﹣2,當點E在線段BM上運動至與點B重合時,點P也與B,E重合,四邊形APFC的面積最大,
此時A,C,F在同一條直線上,即△ABF的面積,
∵AC=BC=CF=,∠ACB=∠BCF=90°,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∴S四邊形APFC=S△ABF
=×2×
=3,
故答案為:1≤S≤3.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,D為AB上一點,過D點作AB垂線,交AC于E,交BC的延長線于F.
(1)∠1與∠B有什么關系?說明理由.
(2)若BC=BD,請你探索AB與FB的數(shù)量關系,并且說明理由.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB,DC(或它們的延長線)于點M、N.AH⊥MN于點H.
(1)當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時,請你直接寫出線段AH與AB的數(shù)量關系______.(不需證明)
(2)當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時,問(1)中線段AH與AB的數(shù)量關系還成立嗎?若成立,給出證明,若不成立,說明理由.
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【題目】已知關于的方程.
求證:無論取任何實數(shù)時,方程總有實數(shù)根;
當拋物線(為正整數(shù))圖象與軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù),求此拋物線的解析式;
已知拋物線恒過定點,求出定點坐標.
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【題目】將兩張完全相同的矩形紙片、按如圖方式放置,為重合的對角線.重疊部分為四邊形,
試判斷四邊形為何種特殊的四邊形,并說明理由;
若,,求四邊形的面積.
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【題目】如圖,小華剪了兩條寬為1的紙條,交叉疊放在一起,且它們較小的交角為60°,則它們重疊部分的面積為( )
A. 3 B. 2 C. D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=kx(k≠0)經(jīng)過點(m,m)(m<0).線段BC的兩個端點分別在x軸與直線y=kx上滑動(B、C均與原點O不重合),且BC=.分別作BP⊥x軸,CP⊥直線y=kx,直線BP、CP交于點P.經(jīng)探究,在整個滑動過程中,O、P兩點間的距離為定值,則該距離為_____.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,BD是對角線.分別過點A、C作AE⊥BD于點E,CF⊥BD于點F,且AE=CF
(1)求證:AB∥CD
(2)若E是BF中點,且△ABE的面積為1,則四邊形ABCD的面積為________.
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【題目】如圖,點A的坐標為(﹣4,0),點B的坐標為(0,﹣2),把點A繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的點C恰好在拋物線y=ax2上,點P是拋物線y=ax2上的一個動點(不與點O重合),把點P向下平移2個單位得到動點Q,則:
(1)直接寫出AB所在直線的解析式、點C的坐標、a的值;
(2)連接OP、AQ,當OP+AQ獲得最小值時,求這個最小值及此時點P的坐標;
(3)是否存在這樣的點P,使得∠QPO=∠OBC,若不存在,請說明理由;若存在,請你直接寫出此時P點的坐標.
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