Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，0），以OA為一邊在第四象限內(nèi)畫正方形OABC，D（m，0）為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為一邊畫正方形BDFE（點(diǎn)E在直線x=2的右側(cè)）．

（1）當(dāng)m>2時(shí)（如圖1），試判斷線段AE與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（2）當(dāng)AE=時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

（3）連接CF、OF，請直接寫出CF+OF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）AE=CD（2）點(diǎn)F為（7，-3）或（-3，7）（3）2

【解析】分析：（1）由正方形OABC，可得BC=BA，∠ABC=90°，由等腰直角三角形BDE，可得BD=BE，∠DBE=90°，再根據(jù)∠CBD=∠ABE，即可得到△CBD≌△ABE，進(jìn)而得出CD=AE；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，根據(jù)CD=AE可求AD=3,再證明△BAD≌△DHF，易得結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，方法同上；

（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)易求CF+OF的最小值為.

詳解：（1）AE=CD．理由如下：

∵四邊形OABC、四邊形BDFE是正方形，

∴ ∠CBA=∠DBE=90°且CB=AB，BD=BE

∴∠CBD=∠ABE

在△CBD和△ABE中，

∴△CBD≌△ABE，

∴CD=AE．

（2）當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)如圖，

由（1）可知CD=AE=，

∴，

∴AD=5-2=3

過F點(diǎn)作FH⊥x軸于點(diǎn)H，

易證得△BAD≌△DHF，

∴DH=AB=2，F(xiàn)H=AD=3，

∴OH=OD+DH=5+2=7,

故點(diǎn)F（7，-3）

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)如圖，

易證得△CBD≌△ABE，

∴CD=AE=，

∴，

∴AD=5+2=7

過F點(diǎn)作FG⊥x軸于點(diǎn)G，

易證得△BAD≌△DGF，

∴DG=AB=2，F(xiàn)G=AD=7.

∴OG=OD-DG=5-2=3,

故點(diǎn)F（-3，7）

綜上，點(diǎn)F為（7，-3）或（-3，7）.

（3）

點(diǎn)睛: 解題的難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的對應(yīng)邊相等得出結(jié)論．