Question

【題目】如圖，、、的平分線交于.

（1）是什么角？（直接寫結果）

（2）如圖2，過點的直線交射線于點，交射線于點，觀察線段，你有何發(fā)現？并說明理由.

（3）如圖2，過點的直線交射線于點，交射線于點，求證：；

（4）如圖3，過點的直線交射線的反向延長線于點，交射線于點，，，，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）直角；（2）DE=CE，理由見解析；（3）理由見解析；（4）8.

【解析】

（1）根據兩直線平行同旁內角互補可得∠BAM+∠ABN＝180°，然后由角平分線的定義可證∠BAE+∠ABE＝90°，進而可得∠AEB＝90°；

（2）過點E作EF⊥AM，交AM與F，交BN于H，作EG⊥AB于G.由角平分線的性質可證EF=EH，然后根據“AAS”證明△CEF≌△DEH即可；

（3）在AB上截取AF＝AC，連接EF，可證△ACE≌△AFE，得到∠AEC＝∠AEF，進而證出∠FEB＝∠DEB，然后再證明△BFE≌△BDE，可得結論；

（4）延長AE交BD于F，由三線合一可知AB＝BF＝5，AE＝EF，根據“AAS” 證明△ACE≌△FDE，可得DF＝AC＝3，設S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x，根據S△ABE﹣S△ACE＝2，求出x的值，進而可求出△BDE的面積．

解：（1）∵AM//BN，

∴∠BAM+∠ABN＝180°，

∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，

∴∠BAE＝BAM，∠ABE＝∠ABN，

∴∠BAE+∠ABE＝(∠BAM+∠ABN)＝90°，

∴∠AEB＝90°；

（2）如圖，過點E作EF⊥AM，交AM與F，交BN于H，作EG⊥AB于G.

∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，

∴EF=EG=EH.

∵AM//BN，

∴∠CFE=∠EHD.

在△CEF和△DEH中，

∵∠CFE=∠DHE=90°，

∠CFE=∠EHD，

EF=EH，

∴△CEF≌△DEH，

∴DE=CE；

（3）在AB上截取AF＝AC，連接EF，

在△ACE與△AFE中，

，

∴△ACE≌△AFE，

∴∠AEC＝∠AEF，

∵∠AEB＝90°，

∴∠AEF+∠BEF＝∠AEC+∠BED＝90°，

∴∠FEB＝∠DEB，

在△BFE與△BDE中，

，

∴△BFE≌△BDE，

∴BF＝BD，

∵AB＝AF+BF，

∴AC+BD＝AB；

（4）延長AE交BD于F，

∵∠AEB＝90°，

∴BE⊥AF，

∵BE平分∠ABN，

∴AB＝BF＝5，AE＝EF，

∵AM//BN，

∴∠C＝∠EDF，

在△ACE與△FDE中，

，

∴△ACE≌△FDE，

∴DF＝AC＝3，

∵BF＝5，

∴設S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x，

∵S△ABE﹣S△ACE＝2，

∴5x﹣3x＝2，

∴x＝1，

∴△BDE的面積＝8．