【題目】ABC中,∠A=40°.

(1)如圖(1)BOCOABC的內(nèi)角角平分線,且相交于點(diǎn)O,求∠BOC

(2)如圖(2)若BO、COABC的外角角平分線,且相交于點(diǎn)O,求∠BOC

(3)如圖(3)若BO、CO分別是ABC的一內(nèi)角和一外角角平分線,且相交于點(diǎn)O,求∠BOC

(4)根據(jù)上述三問(wèn)的結(jié)果,當(dāng)∠A時(shí),分別可以得出∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系(只需寫出結(jié)論).

【答案】(1)110°;(2)70°;(3)20°;(4)分別是90°+ °;90°- °;°

【解析】試題分析:(1)首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,求得∠ABC+∠ACB,再根據(jù)角平分線的概念,求得∠OBC+∠OCB,最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠BOC= 110°;(2)如圖2,根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A,∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A,所以2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°,再由∠1+∠2+∠BOC=180°可得2∠BOC=180°-∠A,即∠BOC=90°- ∠A=90°-20°=70°;(3)如圖3,由BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線,可得∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACD,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠ACD=∠A+∠ABC,即可得∠2= (∠A+∠ABC)= ∠A+∠1,再由三角形外角的性質(zhì)可得∠BOC=∠2﹣∠1= ∠A+∠1﹣∠1= ∠A=×40°=20°;(4)利用以上結(jié)論直接得出答案即可.

試題解析:

(1)∵∠A=40°,

∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°.

∵BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的角平分線,

∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+∠ACB)=×140°=70°,

∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-70°=110°;

(2)∵BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分線,

∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A,

∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A,

∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°,

又∵∠1+∠2+∠BOC=180°,

∴2∠BOC=180°-∠A,

∴∠BOC=90°- ∠A=90°-20°=70°.

圖2

(3)如圖3,

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線,

∴∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACD,

又∵∠ACD是△ABC的一外角,

∴∠ACD=∠A+∠ABC,

∴∠2= (∠A+∠ABC)= ∠A+∠1,

∵∠2是△BOC的一外角,

∴∠BOC=∠2﹣∠1= ∠A+∠1﹣∠1= ∠A=×40°=20°.

(4)分別是90°+ °;90°- °;°

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