Question

【題目】已知反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣ ，1）．
（1）試確定此反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，將線段OA繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB．判斷點(diǎn)B是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由；
（3）已知點(diǎn)P（m， m+6）也在此反比例函數(shù)的圖象上（其中m＜0），過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)M．若線段PM上存在一點(diǎn)Q，使得△OQM的面積是 ，設(shè)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n，求n2﹣2 n+9的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得1= ，解得k=﹣ ，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣

（2）

解：過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)C．

在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，

∴OA= =2，∠AOC=30°，

∵將線段OA繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB，

∴∠AOB=30°，OB=OA=2，

∴∠BOC=60°．

過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)D．

在Rt△BOD中，BD=OBsin∠BOD= ，OD= OB=1，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1， ），

將x=﹣1代入y=﹣ 中，得y= ，

∴點(diǎn)B（﹣1， ）在反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上

（3）

解：由y=﹣ 得xy=﹣ ，

∵點(diǎn)P（m， m+6）在反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上，其中m＜0，

∴m（ m+6）=﹣ ，

∴m2+2 m+1=0，

∵PQ⊥x軸，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）．

∵△OQM的面積是 ，

∴ OMQM= ，

∵m＜0，∴mn=﹣1，

∴m2n2+2 mn2+n2=0，

∴n2﹣2 n=﹣1，

∴n2﹣2 n+9=8．

【解析】（1）由于反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣ ，1），運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出此反比例函數(shù)的解析式；（2）首先由點(diǎn)A的坐標(biāo)，可求出OA的長(zhǎng)度，∠AOC的大小，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷點(diǎn)B是否在此反比例函數(shù)的圖象上；（3）把點(diǎn)P（m， m+6）代入反比例函數(shù)的解析式，得到關(guān)于m的一元二次方程；根據(jù)題意，可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），再由△OQM的面積是 ，根據(jù)三角形的面積公式及m＜0，得出mn的值，最后將所求的代數(shù)式變形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．