【題目】已知∠MON=90°,等邊三角形ABC的一個頂點B是射線ON上的一定點,頂點A于點O重合,頂點C在∠MON內(nèi)部
(1)當點A在射線OM上移動到A1時,連接A1B,請在∠MON內(nèi)部作出以A1B為一邊的等邊三角形A1BC1(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)設A1B與OC交于點Q,BC的延長線與A1C1交于點D.求證:△BCQ∽△BA1D;
(3)連接CC1,試猜想∠BCC1為多少度,并證明你的猜想.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)∠BCC1=90°,理由詳見解析.
【解析】
(1)分別以B、A1為圓心,A1B長為半徑畫弧,兩弧交于一點C1,連接A1C1,BC1即可;
(2)根據(jù)條件可以得到∠BCQ=∠BA1D=60°,∠A1BD=∠QBC,即可證出△BCQ∽△BA1D;
(3)首先證明∠ABA1=∠CBC1,再利用SAS定理證出△A1BA≌△C1BC,即可得到∠BCC1=∠BAA1=90°.
(1)如圖所示:
(2)∵△ACB和△A1C1B都是等邊三角形,
∴∠BCQ=∠BA1D=60°,
∵∠A1BD=∠QBC,
∴△BCQ∽△BA1D;
(3)猜想∠BCC1=90°,
∵△ACB和△A1C1B都是等邊三角形,
∴∠CBA=∠A1BC1=60°,A1B=C1B,AB=CB,
∴∠ABA1=∠CBC1,
在△A1BA和△C1BC中: ,
∴△A1BA≌△C1BC(SAS),
∴∠BCC1=∠BAA1=90°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若拋物線L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),abc≠0)與直線l都經(jīng)過y軸上的同一點,且拋物線L的頂點在直線l上,則稱次拋物線L與直線l具有“一帶一路”關(guān)系,并且將直線l叫做拋物線L的“路線”,拋物線L叫做直線l的“帶線”.
(1)若“路線”l的表達式為y=2x﹣4,它的“帶線”L的頂點的橫坐標為﹣1,求“帶線”L的表達式;
(2)如果拋物線y=mx2﹣2mx+m﹣1與直線y=nx+1具有“一帶一路”關(guān)系,求m,n的值;
(3)設(2)中的“帶線”L與它的“路線”l在y軸上的交點為A.已知點P為“帶線”L上的點,當以點P為圓心的圓與“路線”l相切于點A時,求出點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)學興趣小組為了研究中小學男生身高y(cm)和年齡x(歲)的關(guān)系,從某市官網(wǎng)上得到了該市2017年統(tǒng)計的中小學男生各年齡組的平均身高,見下表:如圖已經(jīng)在直角坐標系中描出了表中數(shù)據(jù)對應的點,并發(fā)現(xiàn)前5個點大致位于直線AB上,后7個點大致位于直線CD上.
年齡組x | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
男生平均身高y | 115.2 | 118.3 | 122.2 | 126.5 | 129.6 | 135.6 | 140.4 | 146.1 | 154.8 | 162.9 | 168.2 |
(1)該市男學生的平均身高從 歲開始增加特別迅速.
(2)求直線AB所對應的函數(shù)表達式.
(3)直接寫出直線CD所對應的函數(shù)表達式,假設17歲后該市男生身高增長速度大致符合直線CD所對應的函數(shù)關(guān)系,請你預測該市18歲男生年齡組的平均身高大約是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A(0,3)、B(1,0),其對稱軸為直線l:x=2,過點A作AC∥x軸交拋物線于點C,∠AOB的平分線交線段AC于點E,點P是拋物線上的一個動點,設其橫坐標為m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若動點P在直線OE下方的拋物線上,連結(jié)PE、PO,當m為何值時,四邊形AOPE面積最大,并求出其最大值;
(3)如圖②,F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點,在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知:如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,點E在邊AD上(不與點A、D重合),∠CEB=45°,EB與對角線AC相交于點F,設DE=x.
(1)用含x的代數(shù)式表示線段CF的長;
(2)如果把△CAE的周長記作C△CAE,△BAF的周長記作C△BAF,設=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域;
(3)當∠ABE的正切值是時,求AB的長.
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【題目】如圖,直線y1=2x+2交x軸、y軸于點A、C,直線交x軸、y軸于點B、C,點P(m,1)是△ABC內(nèi)部(包括邊上)的一點,則m的最大值與最小值之差為( )
A.2B.2.5C.3D.3.5
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【探索新知】:如圖1,射線OC在∠AOB的內(nèi)部,圖中共有3個角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍,則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”.
(1)一個角的平分線 這個角的“巧分線”;(填“是”或“不是”)
(2)如圖2,若∠MPN=α,且射線PQ是∠MPN的“巧分線”,則∠MPQ= ;(用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果)
【深入研究】:如圖2,若∠MPN=60°,且射線PQ繞點P從PN位置開始,以每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn),當PQ與PN成180°時停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)的時間為t秒.
(3)當t為何值時,射線PM是∠QPN的“巧分線”;
(4)若射線PM同時繞點P以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn),并與PQ同時停止,請直接寫出當射線PQ是∠MPN的“巧分線”時t的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑作⊙O,交AB于D,過點O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求證:ED為⊙O的切線;
(2)如果⊙O的半徑為,ED=2,延長EO交⊙O于F,連接DF、AF,求△ADF的面積.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)首先連接OD,由OE∥AB,根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì),易證得≌ 即可得,則可證得為的切線;
(2)連接CD,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的長,又由OE∥AB,證得根據(jù)相似三角形的對應邊成比例,即可求得的長,然后利用三角函數(shù)的知識,求得與的長,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
試題解析:(1)證明:連接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切線;
(2)連接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直徑,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面積為
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】【題目】已知,拋物線y=ax2+ax+b(a≠0)與直線y=2x+m有一個公共點M(1,0),且a<b.
(1)求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點D坐標(用a的代數(shù)式表示);
(2)直線與拋物線的另外一個交點記為N,求△DMN的面積與a的關(guān)系式;
(3)a=﹣1時,直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點G,點G、H關(guān)于原點對稱,現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個不同的公共點,試求t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某水果零售商店,通過對市場行情的調(diào)查,了解到兩種水果銷路比較好,一種是冰糖橙,一種是睡美人西瓜.通過兩次訂貨購進情況分析發(fā)現(xiàn),買40箱冰糖橙和15箱睡美人西瓜花去2000元,買20箱冰糖橙和30箱睡美人西瓜花去1900元.
(1)請求出購進這兩種水果每箱的價格是多少元?
(2)該水果零售商在五一期間共購進了這兩種水果200箱,冰糖橙每箱以40元價格出售,西瓜以每箱50元的價格出售,獲得的利潤為w元.設購進的冰糖橙箱數(shù)為a箱,求w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在條件(2)的銷售情況下,但是每種水果進貨箱數(shù)不少于30箱,西瓜的箱數(shù)不少于冰糖橙箱數(shù)的5倍,請你設計進貨方案,并計算出該水果零售商店能獲得的最大利潤是多少?
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