【題目】如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A(0,3)、B(1,0),其對稱軸為直線l:x=2,過點AACx軸交拋物線于點C,AOB的平分線交線段AC于點E,點P是拋物線上的一個動點,設其橫坐標為m.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若動點P在直線OE下方的拋物線上,連結PE、PO,當m為何值時,四邊形AOPE面積最大,并求出其最大值;

(3)如圖②,F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點,在拋物線上是否存在點P使POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2-4x+3.(2)m=時,四邊形AOPE面積最大,最大值為.(3)P點的坐標為 :P1,),P2,),P3,),P4,).

【解析】

1)利用對稱性可得點D的坐標,利用交點式可得拋物線的解析式;

(2)設P(m,m2-4m+3),根據(jù)OE的解析式表示點G的坐標,表示PG的長,根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積,利用配方法可得其最大值;

(3)存在四種情況:

如圖3,作輔助線,構建全等三角形,證明OMP≌△PNF,根據(jù)OM=PN列方程可得點P的坐標;同理可得其他圖形中點P的坐標.

1)如圖1,設拋物線與x軸的另一個交點為D,

由對稱性得:D(3,0),

設拋物線的解析式為:y=a(x-1)(x-3),

A(0,3)代入得:3=3a,

a=1,

∴拋物線的解析式;y=x2-4x+3;

(2)如圖2,設P(m,m2-4m+3),

OE平分∠AOB,AOB=90°,

∴∠AOE=45°,

∴△AOE是等腰直角三角形,

AE=OA=3,

E(3,3),

易得OE的解析式為:y=x,

PPGy軸,交OE于點G,

G(m,m),

PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,

S四邊形AOPE=SAOE+SPOE,

=×3×3+PGAE,

=+×3×(-m2+5m-3),

=-m2+m,

=(m-2+,

-<0,

∴當m=時,S有最大值是;

(3)如圖3,過PMNy軸,交y軸于M,交lN,

∵△OPF是等腰直角三角形,且OP=PF,

易得OMP≌△PNF,

OM=PN,

P(m,m2-4m+3),

-m2+4m-3=2-m,

解得:m=,

P的坐標為()或(,);

如圖4,過PMNx軸于N,過FFMMNM,

同理得ONP≌△PMF,

PN=FM,

-m2+4m-3=m-2,

解得:x=;

P的坐標為()或(,);

綜上所述,點P的坐標是:()或(,,)或().

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