Question

【題目】現(xiàn)有正方形ABCD和一個(gè)以O為直角頂點(diǎn)的三角板，移動(dòng)三角板，使三角板的兩直角邊所在直線分別與直線BC，CD交于點(diǎn)M，N．

如圖1，若點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，容易得到線段OM與ON的關(guān)系．

（1）觀察猜想：如圖2，若點(diǎn)O在正方形的中心（即兩條對(duì)角線的交點(diǎn)），OM與ON的數(shù)量關(guān)系是___________；

（2）探究證明：如圖3，若點(diǎn)O在正方形的內(nèi)部（含邊界），且OM=ON，請(qǐng)判斷三角板移動(dòng)過(guò)程中所有滿足條件的點(diǎn)O可組成什么圖形，并說(shuō)明理由；

（3）拓展延伸：若點(diǎn)O在正方形的外部，且OM=ON，請(qǐng)你在圖4中畫(huà)出滿足條件的一種情況，并就“三角板在各種情況下（含外部）移動(dòng)，所有滿足條件的點(diǎn)O所組成的圖形”，寫(xiě)出正確的結(jié)論．（不必說(shuō)明

Answer 1

【答案】（1）相等（OM=ON）；（2）判斷：三角板移動(dòng)過(guò)程中所有滿足條件的點(diǎn)O可組成線段AC（對(duì)角線AC），證明詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）連接、，則通過(guò)判定，可以得到；

（2）過(guò)點(diǎn)作，作，可以通過(guò)判定，得出，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在的平分線上；

（3）如圖4，可以運(yùn)用（2）中作輔助線的方法，判定三角形全等并得出結(jié)論.

（1）相等（OM=ON）；

（2）判斷：三角板移動(dòng)過(guò)程中所有滿足條件的點(diǎn)O可組成線段AC（對(duì)角線AC）.

如圖3，過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥BC，OF⊥CD，垂足分別為E，F，則∠OEM=∠OFN=90°．

又∵∠C=90°，

∴∠EOF=∠MON =90°.

∴∠MOE=∠NOF．

在△MOE和△NOF中，∵∠OEM=∠OFN，∠MOE=∠NOF，OM=ON，

∴△MOE≌△NOF（AAS）.

∴OE=OF．

又∵OE⊥BC，OF⊥CD，

∴點(diǎn)O在∠C的角平分線上.

∴三角板移動(dòng)過(guò)程中所有滿足條件的點(diǎn)O可組成線段AC（對(duì)角線AC）.

（3）畫(huà)圖如圖4：

三角板移動(dòng)過(guò)程中所有滿足條件的點(diǎn)O可組成直線AC或過(guò)點(diǎn)C且與AC垂直的直線．