【題目】如圖,在正方形ABCD中,AC為對(duì)角線,E為AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD,與AC、DC分別交于點(diǎn)G,F(xiàn),H為CG的中點(diǎn),連接DE,EH,DH,F(xiàn)H.下列結(jié)論: ①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若 = ,則3S△EDH=13S△DHC , 其中結(jié)論正確的有 .
【答案】①②③④
【解析】解:①∵四邊形ABCD為正方形,EF∥AD, ∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°,
∴△CFG為等腰直角三角形,
∴GF=FC,
∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC,
∴EG=DF,故①正確;
②∵△CFG為等腰直角三角形,H為CG的中點(diǎn),
∴FH=CH,∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD,
在△EHF和△DHC中, ,
∴△EHF≌△DHC(SAS),
∴∠HEF=∠HDC,
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°,故②正確;
③∵△CFG為等腰直角三角形,H為CG的中點(diǎn),
∴FH=CH,∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD,
在△EHF和△DHC中, ,
∴△EHF≌△DHC(SAS),故③正確;
④∵ = ,
∴AE=2BE,
∵△CFG為等腰直角三角形,H為CG的中點(diǎn),
∴FH=GH,∠FHG=90°,
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD,
在△EGH和△DFH中, ,
∴△EGH≌△DFH(SAS),
∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,
∴△EHD為等腰直角三角形,
過(guò)H點(diǎn)作HM垂直于CD于M點(diǎn),如圖所示:
設(shè)HM=x,則DM=5x,DH= x,CD=6x,
則S△DHC= ×HM×CD=3x2 , S△EDH= ×DH2=13x2 ,
∴3S△EDH=13S△DHC , 故④正確;
所以答案是:①②③④.
【考點(diǎn)精析】掌握正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC= ,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到△AB′C′的位置,連接C′B,則C′B= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示,點(diǎn)A'的坐標(biāo)是(-2,2),現(xiàn)將三角形ABC平移,使點(diǎn)A變換為點(diǎn)A',點(diǎn)B',C'分別是B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
(1)請(qǐng)畫出平移后的三角形A'B'C'(不寫畫法),并直接寫出B',C'的坐標(biāo);
(2)若三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠ABC=3∠CBD,∠ADC=3∠CDB,∠C=130°,則∠A的度數(shù)是( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分線,它們相交于點(diǎn)O,∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC及∠BOA的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠1=65°,∠2=50°,∠3=115°,EG平分∠NEF,
試說(shuō)明:(1)AB∥CD;
(2)EG∥FH的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是一個(gè)工件的平面圖,它要求AD和BC這兩邊的夾角應(yīng)等于30°.甲、乙、丙三個(gè)工人在檢驗(yàn)工件是否合格時(shí),發(fā)生了以下爭(zhēng)論:
甲:要檢驗(yàn)工件是否合格,應(yīng)延長(zhǎng)AD和BC,設(shè)交點(diǎn)為O,然后檢驗(yàn)∠O是否等于30°.
乙:這樣太麻煩了,我看只需測(cè)量出∠A和∠B的度數(shù)就行了.
丙:量出∠C和∠D的度數(shù)也可以檢驗(yàn)AD和BC的夾角是否等于30°.
請(qǐng)你用所學(xué)過(guò)的知識(shí),說(shuō)明乙、丙兩人的方法是否正確.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①所示,已知,BC∥OA,∠B=∠A=100°,試解答下列問(wèn)題:
(1)試說(shuō)明:OB∥AC;
(2)如圖②,若點(diǎn)E.F在BC上,且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF.試求∠EOC的度數(shù);
(3)在(2)小題的條件下,若左右平行移動(dòng)AC,如圖③,那么∠OCB:∠OFB的比值是否隨之發(fā)生變化?若變化,試說(shuō)明理由;若不變,求出這個(gè)比值.
(4)在(3)小題的條件下,當(dāng)∠OEB=∠OCA時(shí),試求∠OCA的度數(shù).
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