Question

【題目】如圖①，小慧同學(xué)把一個(gè)正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上。OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1，繞點(diǎn)B1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1處，點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O2處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O2處）。小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點(diǎn)O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長(zhǎng)度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和。

小慧進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B2處，小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點(diǎn)B1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，…。按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題：

問題①：若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程；

問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程是？

Answer 1

【答案】(1) (2) 81次

【解析】整體分析：

①正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心分別為點(diǎn)A，B，C，半徑分別為1， ，1；頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的圖形與直線l2圍成的圖形有2個(gè)半徑為1的扇形，1個(gè)半徑為的扇形和2個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形；正方形紙片OABC經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過3段半徑為1的弧和1段半徑為的��；②正方形經(jīng)過四次旋轉(zhuǎn)為一個(gè)周期，計(jì)算出正方形經(jīng)過四次旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)O經(jīng)過的路程與作比較即可求解.

①如圖，正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是三段圓弧；

∴頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的路程為： ，

頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的圖形與直線l2圍成的圖形面積為： 。

正方形紙片OABC經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的路程為： ，

②正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O在此過程中經(jīng)過的路程為： ，

根據(jù)第四次正方形旋轉(zhuǎn)時(shí)O點(diǎn)不動(dòng)，也就是此時(shí)也是正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)的路程為

又∵，

∴正方形紙片OABC經(jīng)過了20×4+1=81次旋轉(zhuǎn).