【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點,點A(﹣2,0),點B(0,2),點E,點F分別為OA,OB的中點.若正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn),得正方形OE′D′F′,記旋轉(zhuǎn)角為α.

(1)如圖①,當(dāng)α=90°時,求AE′,BF′的長;
(2)如圖②,當(dāng)α=135°時,求證AE′=BF′,且AE′⊥BF′;

【答案】
(1)解:當(dāng)α=90°時,點E′與點F重合,如圖①.

∵點A(﹣2,0)點B(0,2),

∴OA=OB=2.

∵點E,點F分別為OA,OB的中點,

∴OE=OF=1

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的,

∴OE′=OE=1,OF′=OF=1.

在Rt△AE′O中,

AE′=

在Rt△BOF′中,

BF′=

∴AE′,BF′的長都等于


(2)解:當(dāng)α=135°時,如圖②.

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)135°所得,

∴∠AOE′=∠BOF′=135°.

在△AOE′和△BOF′中,

∴△AOE′≌△BOF′(SAS).

∴AE′=BF′,且∠OAE′=∠OBF′.

∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB,∠CAO=∠CBP,

∴∠CPB=∠AOC=90°

∴AE′⊥BF′.

(Ⅲ)若直線AE′與直線BF′相交于點P,求點P的縱坐標(biāo)的最大值(直接寫出結(jié)果即可).

解:∵∠BPA=∠BOA=90°,∴點P、B、A、O四點共圓,

∴當(dāng)點P在劣弧OB上運動時,點P的縱坐標(biāo)隨著∠PAO的增大而增大.

∵OE′=1,∴點E′在以點O為圓心,1為半徑的圓O上運動,

∴當(dāng)AP與⊙O相切時,∠E′AO(即∠PAO)最大,

此時∠AE′O=90°,點D′與點P重合,點P的縱坐標(biāo)達到最大.

過點P作PH⊥x軸,垂足為H,如圖③所示.

∵∠AE′O=90°,E′O=1,AO=2,

∴∠E′AO=30°,AE′=

∴AP= +1.

∵∠AHP=90°,∠PAH=30°,

∴PH= AP=

∴點P的縱坐標(biāo)的最大值為


【解析】(1)利用勾股定理即可求出AE′,BF′的長.(2)運用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)就可解決問題.(3)首先找到使點P的縱坐標(biāo)最大時點P的位置(點P與點D′重合時),然后運用勾股定理及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識即可求出點P的縱坐標(biāo)的最大值.
【考點精析】掌握三角形的外角和含30度角的直角三角形是解答本題的根本,需要知道三角形一邊與另一邊的延長線組成的角,叫三角形的外角;三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角;在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

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