Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OAB如圖放置，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的反比例函數(shù) 與OA邊交于點(diǎn)E，連接OP．

（1）如圖1，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），且△OPB的面積為 ，求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，過P作PC∥OA，與OB交于點(diǎn)C，若 ，并且△OPC的面積為 ，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，過點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），

△OPB的面積為 ，

∴ ×5PD= ，解得PD=1，

設(shè)直線AB的解析式為

y=ax+b（a≠0），

∵A（3，4），B（5，0），

∴ ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=﹣2x+10，

當(dāng)y=1時(shí)，﹣2x+10=1，解得x= ，

∴P（ ，1），

∵點(diǎn)P的反比例函數(shù)y= （x＞0）上，

∴1= ，解得k= ，

∴反比例函數(shù)的解析式為：y= ；

（2）

解：如圖2中，作PN⊥OB于N，AH⊥OB于H，EM⊥OB于M．

∵PC∥OA，

∴∠PCN=∠AOH，∵∠AHO=∠PNC，

∴△AHO∽△PNC，同理△EMO∽△PNC，

∵AO：AH：OH=5：4：3，

∴PC：PN：CN=5：4：3，設(shè)點(diǎn)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，4n），則CN=3n，PC=5n，

∵△EMO∽△ONC，OE=2PC，

∴EM=8n，OM=6n，E（6n，8n）

∴6n8n=m4n，

∴m=12n，

∵S△POC= ，

∴ （12n﹣3n）4n= ，

∴n= （負(fù)根已經(jīng)舍棄）．

∴點(diǎn)E坐標(biāo)（ ， ），

∴OE= ．

【解析】（1）過點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），且△OPB的面積為 求出PD的長(zhǎng)，求出直線AB的解析式，故可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式即可；（2）如圖2中，作PN⊥OB于N，AH⊥OB于H，EM⊥OB于M，由△AHO∽△PNC，△EMO∽△PNC，因?yàn)锳O：AH：OH=5：4：3，所以PC：PN：CN=5：4：3，設(shè)點(diǎn)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，4n），則CN=3n，PC=5n，列方程求出n，m即可解決問題．