【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三點(diǎn).
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)E,使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似?若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)若將直線BC平移,使其經(jīng)過點(diǎn)A,且與拋物線相交于點(diǎn)D,連接BD,試求出∠BDA的度數(shù).
【答案】
(1)解:∵該拋物線過點(diǎn)C(0,2),
∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx+2.
將A(﹣1,0),B(4,0)代入,
得 ,
解得 ,
∴拋物線的解析式為:y=﹣ x2+ x+2.
(2)解:存在.
由圖象可知,以A、B為直角頂點(diǎn)的△ABE不存在,所以△ABE只可能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形.
在Rt△BOC中,OC=2,OB=4,
∴BC= =2 .
在Rt△BOC中,設(shè)BC邊上的高為h,則 ×2 h= ×2×4,
∴h= .
∵△BEA∽△COB,設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),
∴ = ,
∴y=±2
將y=2代入拋物線y=﹣ x2+ x+2,
得x1=0,x2=3.
當(dāng)y=﹣2時(shí),不合題意舍去.
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),(3,2).
(3)解:如圖2,連結(jié)AC,作DE⊥x軸于點(diǎn)E,作BF⊥AD于點(diǎn)F,
∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°.
設(shè)BC的解析式為y=kx+b,由圖象,得
,
∴ ,
yBC=﹣ x+2.
由BC∥AD,設(shè)AD的解析式為y=﹣ x+n,由圖象,得
0=﹣ ×(﹣1)+n
∴n=﹣ ,
yAD=﹣ x﹣ .
∴﹣ x2+ x+2=﹣ x﹣ ,
解得:x1=﹣1,x2=5
∴D(﹣1,0)與A重合,舍去;
∴D(5,﹣3).
∵DE⊥x軸,
∴DE=3,OE=5.
由勾股定理,得BD= .
∵A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2),
∴OA=1,OB=4,OC=2.
∴AB=5
在Rt△AOC中,Rt△BOC中,由勾股定理,得
AC= ,BC=2 ,
∴AC2=5,BC2=20,AB2=25,
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形,
∴∠ACB=90°.
∵BC∥AD,
∴∠CAF+∠ACB=180°,
∴∠CAF=90°.
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°,
∴四邊形ACBF是矩形,
∴AC=BF= ,
在Rt△BFD中,由勾股定理,
得DF= ,
∴DF=BF,
∴∠ADB=45°.
【解析】(1)本題需先根據(jù)已知條件,過C點(diǎn),設(shè)出該拋物線的解析式為y=ax2+bx+2,再根據(jù)過A,B兩點(diǎn),即可得出結(jié)果;(2)由圖象可知,以A、B為直角頂點(diǎn)的△ABE不存在,所以△ABE只可能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形.由相似關(guān)系求出點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)如圖2,連結(jié)AC,作DE⊥x軸于點(diǎn)E,作BF⊥AD于點(diǎn)F,由BC∥AD設(shè)BC的解析式為y=kx+b,設(shè)AD的解析式為y=kx+n,由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式,就可以求出點(diǎn)D坐標(biāo),由勾股定理就可以求出BD的值,由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°,由平行線的性質(zhì)就可以得出∠CAD=90°,就可以得出四邊形ACBF是矩形,就可以得出BF的值,由勾股定理求出DF的值,而得出DF=BF而得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識,掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°,以及對矩形的性質(zhì)的理解,了解矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對角線相等.
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【題目】漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”(如圖).圖是由弦圖變化得到的,它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為、、.若,則的值是( )
A. B. C. D.
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【題目】當(dāng)x=m和x=n(m≠n)時(shí),二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的函數(shù)值相等,當(dāng)x=m+n時(shí),函數(shù)y=x2﹣2x+3的值為 .
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【題目】如圖,矩形OABC的兩點(diǎn)OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)G為矩形對角線的交點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)G的雙曲線y= 在第一象限的圖象與BC相交于點(diǎn)M,交AB于N,若已知S△MBN=9,則k的值為 .
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【題目】如圖所示,一個(gè)四邊形紙片ABCD,∠B=∠D=90°,把紙片按如圖所示折疊,使點(diǎn)B落在AD邊上的B'點(diǎn),AE是折痕。
(1)試判斷B'E與DC的位置關(guān)系并說明理由。
(2)如果∠C=130°,求∠AEB的度數(shù)。
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【題目】如圖,點(diǎn)E在△ABC外部,點(diǎn)D在邊BC上,DE交AC于點(diǎn)F.若∠1=∠2=∠3,AC=AE,求證△ABC≌△ADE.
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【題目】如圖1,E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)B沿折線BE﹣ED﹣DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止,點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止,它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s.若點(diǎn)P,Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),△BPQ的面積為y(cm2).已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2,有下列四個(gè)結(jié)論:①AE=6cm;②sin∠EBC= ;③當(dāng)0<t≤10時(shí),y= t2; ④當(dāng)t=12s時(shí),△PBQ是等腰三角形.其中正確結(jié)論的序號是 .
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△OAB如圖放置,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn),過點(diǎn)P的反比例函數(shù) 與OA邊交于點(diǎn)E,連接OP.
(1)如圖1,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),且△OPB的面積為 ,求反比例函數(shù)的解析式;
(2)如圖2,過P作PC∥OA,與OB交于點(diǎn)C,若 ,并且△OPC的面積為 ,求OE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD是BC邊上的高,AE、BF分別是∠BAC、∠ABC的平分線,∠BAC=50°,∠ABC=60°,則∠EAD+∠ACD=( 。
A. 75° B. 80° C. 85° D. 90°
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