Question

【題目】如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣，與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C，點D為線段AC的中點，直線BD與拋物線交于另一點E，與y軸交于點F．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD、PF，當△PDF的面積最大時，在線段BE上找一點G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值．

（3）如圖2，點M為拋物線上一點，點N在拋物線的對稱軸上，點K為平面內(nèi)一點，當以A、M、N、K為頂點的四邊形是正方形時，請求出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+﹣x+2；（2）；（3）N點的坐標為：或（）或（﹣）或（﹣）或（﹣）或或（﹣）

【解析】

(1)根據(jù)對稱軸公式列出等式,帶點到拋物線列出等式,解出即可;

(2)先求出A、B、C的坐標,從而求出D的坐標算出BD的解析式,根據(jù)題意畫出圖形,設(shè)出P、G的坐標代入三角形的面積公式得出一元二次方程,聯(lián)立方程組解出即可;

(3)分類討論①當AM是正方形的邊時，(ⅰ)當點M在y軸左側(cè)時(N在下方), (ⅱ)當點M在y軸右側(cè)時,②當AM是正方形的對角線時,分別求出結(jié)果綜合即可．

(1)拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣，與x軸交于點B(1，0)．

∴，解得，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+﹣x+2；

(2)拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，

∴A(﹣4，0)，B(1，0)，C(0，2)．

∵點D為線段AC的中點，

∴D(﹣2，1)，

∴直線BD的解析式為：，

過點P作y軸的平行線交直線EF于點G，如圖1，

設(shè)點P(x，)，則點G(x，)．

∴，

當x＝﹣時，S最大，即點P(﹣，)，

過點E作x軸的平行線交PG于點H，

則tan∠EBA＝tan∠HEG＝，

∴，故為最小值，即點G為所求．

聯(lián)立 解得，(舍去)，

故點E(﹣,)，

則PG﹣的最小值為PH＝．

(3)①當AM是正方形的邊時，

(ⅰ)當點M在y軸左側(cè)時(N在下方)，如圖2，

當點M在第二象限時，過點A作y軸的平行線GH，過點M作MG⊥GH于點G，過點N作HN⊥GH于點H，

∴∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，

∴∠GMA＝∠HAN，

∵∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，

∴△AGM≌△NHA(AAS)，

∴GA＝NH＝4﹣，AH＝GM，

即y＝﹣，/span>

解得x＝，

當x＝時，GM＝x﹣(﹣4)＝，yN＝﹣AH＝﹣GM＝，

∴N(,)．

當x＝時，同理可得N(,)，

當點M在第三象限時，同理可得N(,)．

(ⅱ)當點M在y軸右側(cè)時，如圖3，

點M在第一象限時，過點M作MH⊥x軸于點H

設(shè)AH＝b，同理△AHM≌△MGN(AAS)，

則點M(﹣4+b，b﹣)．

將點M的坐標代入拋物線解析式可得：b＝(負值舍去)

yN＝yM+GM＝yM+AH＝，

∴N(﹣,)．

當點M在第四象限時，同理可得N(﹣,-)．

②當AM是正方形的對角線時，

當點M在y軸左側(cè)時，過點M作MG⊥對稱軸于點G，

設(shè)對稱軸與x軸交于點H，如圖4．

∵∠AHN＝∠MGN＝90°，∠NAH＝∠MNG，MN＝AN，

∴△AHN≌△NGN(AAS)，

設(shè)點N(﹣,π)，則點M(﹣,)，

將點M的坐標代入拋物線解析式可得, (舍去)，

∴N(,)，

當點M在y軸右側(cè)時，同理可得N(,)．

綜上所述：N點的坐標為：或()或(﹣)或(﹣)或(﹣)或或(﹣)．