【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c和直線y=x+1交于A,B兩點,點A在x軸上,點B在直線x=3上,直線x=3與x軸交于點C
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P從點A出發(fā),以每秒個單位長度的速度沿線段AB向點B運動,點Q從點C出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿線段CA向點A運動,點P,Q同時出發(fā),當其中一點到達終點時,另一個點也隨之停止運動,設運動時間為t秒(t>0).以PQ為邊作矩形PQNM,使點N在直線x=3上.
①當t為何值時,矩形PQNM的面積最。坎⑶蟪鲎钚∶娣e;
②直接寫出當t為何值時,恰好有矩形PQNM的頂點落在拋物線上.
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4;(2)①當t=時,面積最小是;②t=、或2.
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法進行求解即可;
(2)①分別用t表示PE、PQ、EQ,用△PQE∽△QNC表示NC及QN,列出矩形PQNM面積與t的函數(shù)關系式問題可解;
②由①利用線段中點坐標分別等于兩個端點橫縱坐標平均分的數(shù)量關系,表示點M坐標,分別討論M、N、Q在拋物線上時的情況,并分別求出t值.
(1)由已知,B點橫坐標為3,
∵A、B在y=x+1上,
∴A(﹣1,0),B(3,4),
把A(﹣1,0),B(3,4)代入y=﹣x2+bx+c得,
,解得:,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4;
(2)①如圖,過點P作PE⊥x軸于點E,
∵直線y=x+1與x軸夾角為45°,P點速度為每秒個單位長度,
∴t秒時點E坐標為(﹣1+t,0),Q點坐標為(3﹣2t,0),
∴EQ=4﹣3t,PE=t,
∵∠PQE+∠NQC=90°,
∠PQE+∠EPQ=90°,
∴∠EPQ=∠NQC,
∴△PQE∽△QNC,
∴,
∴矩形PQNM的面積S=PQNQ=2PQ2,
∵PQ2=PE2+EQ2,
∴S=2()2=20t2﹣48t+32,
當t=時,
S最小=20×()2﹣48×+32=;
②由①點Q坐標為(3﹣2t,0),P(﹣1+t,t),C(3,0),
∴△PQE∽△QNC,可得NC=2QE=8﹣6t,
∴N點坐標為(3,8﹣6t),
由矩形對邊平行且相等,P(﹣1+t,t),Q (3﹣2t,0),
∴點M坐標為(3t﹣1,8﹣5t)
當M在拋物線上時,則有
8﹣5t=﹣(3t﹣1)2+3(3t﹣1)+4,
解得t=,
當點Q到A時,Q在拋物線上,此時t=2,
當N在拋物線上時,8﹣6t=4,
∴t=,
綜上所述當t=、或2時,矩形PQNM的頂點落在拋物線上.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是△ABC的高線,CE是△ABC的角平分線,它們相交于點P.
(1)若∠B=40°,∠AEC=75°,求證:AB=BC;
(2)若∠BAC=90°,AP為△AEC邊EC上中線,求∠B的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,分別以直角△ABC的斜邊AB,直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,F(xiàn)為AB的中點,DE與AB交于點G,EF與AC交于點H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.給出如下結(jié)論:
①EF⊥AC;②四邊形ADFE為菱形;③AD=4AG;④FH=BD
其中正確結(jié)論的為______(請將所有正確的序號都填上).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形AOBO2的頂點A的坐標為A(0,2),O1為正方形AOBO2的中心;以正方形AOBO2的對角線AB為邊,在AB的右側(cè)作正方形ABO3A1,O2為正方形ABO3A1的中心;再以正方形ABO3A1的對角線A1B為邊,在A1B的右側(cè)作正方形A1BB1O4,O3為正方形A1BB1O4的中心;再以正方形A1BB1O4的對角線A1B1為邊在A1B1的右側(cè)作正方形A1B1O5A2,O4為正方形A1B1O5A2的中心:…;按照此規(guī)律繼續(xù)下去,則點O2018的坐標為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于點D,∠FAC=∠ABC,且∠FAC在AC下方.點P,Q分別是射線BD,射線AF上的動點,且點P不與點B重合,點Q不與點A重合,連接CQ,過點P作PE⊥CQ于點E,連接DE.
(1)若∠ABC=60°,BP=AQ.
①如圖1,當點P在線段BD上運動時,請直接寫出線段DE和線段AQ的數(shù)量關系和位置關系;
②如圖2,當點P運動到線段BD的延長線上時,試判斷①中的結(jié)論是否成立,并說明理由;
(2)若∠ABC=2α≠60°,請直接寫出當線段BP和線段AQ滿足什么數(shù)量關系時,能使(1)中①的結(jié)論仍然成立(用含α的三角函數(shù)表示).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊AD⊥y軸,垂足為點E,頂點A在第二象限,頂點B在y軸的正半軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象同時經(jīng)過頂點C,D.若點C的橫坐標為5,BE=3DE,則k的值為( 。
A. B. 3 C. D. 5
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【題目】列方程解應用題
某校七年級一班的部分同學和二班的部分同學在元旦期間租小巴車從瀘州去成都熊貓繁殖基地看熊貓寶寶,出發(fā)地到目的地約,一班的車速為,二班的車速為.
(1)生活委員先去超市買大家都喜歡吃的零食“呀!土豆”,但超市的存貨不多了,如果每人包,則剩余包:如果每人包,則還缺包,他們一共有多少人?
(2)因為一班的某同學臨時出了些狀況,二班的車先走,一班的車能在到達目的地之前追上二班的車嗎?如果能,什么時候追上?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】把下列各數(shù)分別填入相應的集合里:
,2.525525552…(相鄰兩個2之間的5的個數(shù)逐個加1),0,,,0.12,,,,
(1)負數(shù)集合:{ …};
(2)非負整數(shù)集合:{ …};
(3)分數(shù)集合:{ …};
(4)無理數(shù)集合:{ …}.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,BF 是∠ABD 的平分線,CE 是∠ACD 的平分線,BF 與 CE 交于 G,若∠BDC=130°,∠BGC=100°,則∠A 的度數(shù)為( )
A.60°B.70°C.80°D.90°
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