【題目】問(wèn)題探究:
(1)已知:如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、H分別在BC、AB上,若AE⊥DH于點(diǎn)O,求證AE=DH;
類(lèi)比探究:
(2)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)H,E,G,F(xiàn)分別在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于點(diǎn)O,探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
拓展應(yīng)用:
(3)已知,如圖3,在(2)問(wèn)條件下,若BC=4,E為BC的中點(diǎn),AF= AD,求HG的長(zhǎng)
【答案】
(1)
證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.
∴∠HAO+∠OAD=90°.
∵AE⊥DH,
∴∠ADO+∠OAD=90°.
∴∠HAO=∠ADO,
在△ABE和△DAH中
,
∴△ABE≌△DAH(ASA),
∴AE=DH.
(2)
解:EF=GH.
理由:如圖2,將FE平移到AM處,則AM∥EF,AM=EF.
將GH平移到DN處,則DN∥GH,DN=GH.
∵EF⊥GH,
∴AM⊥DN,
根據(jù)(1)的結(jié)論得AM=DN,
所以EF=GH;
(3)
解:如圖3,
過(guò)點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P,
∵四邊形ABCD是正方形,BC=4,
∴AD=BC=AB=FP=4,
∵E為BC的中點(diǎn),AF= AD,
∴BE=2,AF=1,
∴PE=2﹣1=1,
在Rt△FPE中,EF= = ,
由(2)得:HG=EF,
∴HG= .
【解析】(1)由正方形的性質(zhì)得AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.所以∠HAO+∠OAD=90°,又知∠ADO+∠OAD=90°,所以∠HAO=∠ADO,于是△ABE≌△DAH,可得AE=DH;(2)將FE平移到AM處,則AM∥EF,AM=EF,將GH平移到DN處,則DN∥GH,DN=GH.根據(jù)(1)的結(jié)論得AM=DN,所以EF=GH;(3)過(guò)點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P,利用勾股定理得出EF的長(zhǎng),進(jìn)而得出HG的長(zhǎng).
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì),需要了解正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市南縣大力發(fā)展農(nóng)村旅游事業(yè),全力打造“洞庭之心濕地公園”,其中羅文村的“花海、涂鴉、美食”特色游享譽(yù)三湘,游人如織.去年村民羅南洲抓住機(jī)遇,返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),投入20萬(wàn)元?jiǎng)?chuàng)辦農(nóng)家樂(lè)(餐飲+住宿),一年時(shí)間就收回投資的80%,其中餐飲利潤(rùn)是住宿利潤(rùn)的2倍還多1萬(wàn)元.
(1)求去年該農(nóng)家樂(lè)餐飲和住宿的利潤(rùn)各為多少萬(wàn)元?
(2)今年羅南洲把去年的餐飲利潤(rùn)全部用于繼續(xù)投資,增設(shè)了土特產(chǎn)的實(shí)體店銷(xiāo)售和網(wǎng)上銷(xiāo)售項(xiàng)目.他在接受記者采訪時(shí)說(shuō):“我預(yù)計(jì)今年餐飲和住宿的利潤(rùn)比去年會(huì)有10%的增長(zhǎng),加上土特產(chǎn)銷(xiāo)售的利潤(rùn),到年底除收回所有投資外,還將獲得不少于10萬(wàn)元的純利潤(rùn).”請(qǐng)問(wèn)今年土特產(chǎn)銷(xiāo)售至少有多少萬(wàn)元的利潤(rùn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y= 交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)A1、A2、A3,…在x軸上,點(diǎn)B1、B2、B3,…在直線l上.若△OB1A,△A1B2A2,△A2B3A3,…均為等邊三角形,則△A5B6A6的面積是__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=3,BC=5,點(diǎn)E、F是BC、CD邊上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)處),若將紙片沿EF折疊,使得點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)P處.設(shè)CF=x,則x的取值范圍為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(8分)將一張長(zhǎng)方形紙條ABCD按如圖所示折疊,若折疊角∠FEC=64°.
(1)求∠1的度數(shù);
(2)求證:△EFG是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形,解答下列問(wèn)題:
(1)根據(jù)圖中條件,用兩種方法表示兩個(gè)陰影圖形的面積的和(只需表示,不必化簡(jiǎn));
(2)由(1),你能得到怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)用等式表示;
(3)如果圖中的a,b(a>b)滿(mǎn)足a2+b2=53,ab=14,求:①a+b的值;②a4﹣b4的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】五一節(jié),小麗獨(dú)自一人去老家玩,家住在車(chē)站附近的姑姑到車(chē)站去接小麗.因?yàn)閾?dān)心小麗下車(chē)后找不到路,姑姑一路小跑來(lái)到車(chē)站,結(jié)果客車(chē)晚點(diǎn),休息一陣后,姑姑接到小麗,和小麗一起慢慢的走回了家.下列圖象中,能反映以上過(guò)程中小麗姑姑離家的距離s與時(shí)間t的關(guān)系的大致圖象是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體的透明魚(yú)缸,假設(shè)其長(zhǎng)AD=80 cm,高AB=60 cm,水深A(yù)E=40 cm,在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚(yú)餌,G在水面線EF上,且EG=60 cm.一小蟲(chóng)想從魚(yú)缸外的點(diǎn)A處沿缸壁爬到魚(yú)缸內(nèi)G處吃魚(yú)餌.
(1)小蟲(chóng)應(yīng)該走怎樣的路線才可使爬行的路程最短?請(qǐng)畫(huà)出它的爬行路線,并用箭頭標(biāo)注;
(2)試求小蟲(chóng)爬行的最短路程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn),M,N分別是射線OA,OB上一點(diǎn),當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí),∠OPM=50°,則∠AOB=___________.
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