Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AC邊上一點(diǎn)，AD=nCD，CE⊥BD于E交AB于F，連接DF.

（1）如圖，當(dāng)BF=2AF時(shí)，求證：n=1；

（2）如圖，當(dāng)DF//BC時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）n=1；（2）

【解析】分析：（1）作AG∥BC交CF延長(zhǎng)線于G，則，可證明△ACG≌△CBD ，得到AG=CD ．

由AC=BC，得到AG：BC=CD：AC=，即可得到結(jié)論．

（2）由DF∥BC，得到∠CDF=∠BCD=90°．再由∠DCE=∠EBE，得到△CDF∽△BCD，由相似三角形的性質(zhì)得到DF：DC=CD：BC．可證明AD=DF．令CD=1，則DF=AD=n，BC=AC=n+1， 得到n：1=1：(n+1)，解方程得到n的值．再證明△DEF∽△CDF，得到DE：EF=CD：DF=，即可得到結(jié)論．

詳解：（1）如圖1，作AG∥BC交CF延長(zhǎng)線于G，則．

∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠ECB=90°．

∵CE⊥BD，∴∠ECB+∠CBE=90°，∴∠ACE=∠CBE．

∵AG∥BC，∠ACB=90°，∴∠GAC=180°－90°=90°，∴∠GAC=∠DCB．

在△ACG和△CBD中，∵∠∠GAC=∠DCB，AC=CB，∠ACE=∠CBE，∴△ACG≌△CBD ，∴AG=CD ．

∵AC=BC，∴AG：BC=CD：AC=，∴AC=2CD，∴AD=CD．

∵AD=nCD，∴n=1．

（2）如圖2．

∵DF∥BC，∠ACB=90°，∴∠CDF=180°-90°=90°，∴∠CDF=∠BCD=90°．

∵∠DCE=∠EBE，∴△CDF∽△BCD，∴DF：DC=CD：BC．

∵AC=CB，∠ACB=90°，∴∠A=45°．

∵∠CDF=90°，∴∠ADF=90°，∴∠DFA=45°，∴AD=DF．令CD=1，則DF=AD=n，BC=AC=n+1， ∴n：1=1：(n+1)，∴n= (負(fù)數(shù)舍去），∴n=．

∵CE⊥BD，∴∠DEF=90°．

∵∠CDF=90°，∴∠DEF=∠CDF=90°．

∵∠DFE=∠DFE，∴△DEF∽△CDF，∴DE：EF=CD：DF==．