Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE中，AB=AD，BC=DE，∠B=∠D，邊AD與邊BC交于點(diǎn)P(不與點(diǎn)B、C重合)，點(diǎn)B、E在AD異側(cè)，I為△APC的內(nèi)心(三條角平線的交點(diǎn)) ．

（1）求證：∠BAD=∠CAE；

（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí),

①若AB=16，BC=20時(shí)，求線段PD的最大值；

②若∠B=36°，∠AIC的取值范圍為m°<∠AIC<n°，求m、n的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②，

【解析】

（1）運(yùn)用已知條件，依據(jù)SAS可證，從而可得，減去重合部分，即得所求證；

（2）①，，當(dāng)時(shí)，最小，=最大，運(yùn)用等面積法求出，即可得出結(jié)論；

②用三角形內(nèi)角和定理求出,運(yùn)用內(nèi)心，求出,設(shè)，則可用α表示，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠AIC也可用α表示，由于，所以∠AIC的取值范圍也能求出來.

（1）證明：在與中

，

（SAS）

即

（2）①中，，

由勾股定理，得

，而．

當(dāng)時(shí)，最小，最大，

此時(shí)，，即，

解得，

的最大值

②如圖，，，，則，．

為的內(nèi)心，

、分別平分，，

，，

又，，

即，

，．