Question

【題目】如圖，拋物線與x軸分別相交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P．

（1）求拋物線的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)M、N從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別在線段OB、OC上向點(diǎn)B、C方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交BC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)H．

①當(dāng)四邊形OMHN為矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

②是否存在這樣的點(diǎn)F，使△PFB為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①H（，）；②存在，F的坐標(biāo)為（，）或（，）．

【解析】

（1）把A和B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求出b、c的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）①表示出ON、MH，運(yùn)用ON=MH，列方程求解即可；

②存在，先求出BC的解析式，根據(jù)互相垂直的直線一次項(xiàng)系數(shù)積等于﹣1，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，用待定系數(shù)法求出直線PF的解析式，然后求直線BC與直線PF的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入拋物線得：，解得：b=1，c=4，∴；

（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），B（4，0），∴直線BC的解析式為，

①根據(jù)題意，ON=OM=t，MH=，∵ON∥MH，∴當(dāng)ON=MH時(shí)，四邊形OMHN為矩形，即，解得：或（不合題意舍去），把代入得：，∴H（，）；

②存在，當(dāng)PF⊥BC時(shí)，∵直線BC的解析式為，

∴設(shè)PF的解析式為，又點(diǎn)P（1，）代入求得，

∴PF的解析式為，

∴根據(jù)題意列方程組：，解得：，

∴F（，）；

當(dāng)PF⊥BP時(shí)，∵點(diǎn)P（1，），B（4，0），

∴直線BP的解析式為：，

∴設(shè)PF的解析式為，又點(diǎn)P（1，）代入求得，

∴PF的解析式為，

∴根據(jù)題意列方程組：，解得：，∴F（，），

綜上所述：△PFB為直角三角形時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）或（，）．