Question

【題目】如圖，點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）、C（3，3）在拋物線y=ax2+bx+c上，點(diǎn)D在y軸上，且DC⊥BC，∠BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后兩邊與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E、F．

（1）求拋物線的解析式；
（2）CF能否經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)？若能，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，說明理由；
（3）若△FDC是等腰三角形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，

可以由兩根式設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+2）（x﹣4），

然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得：a（3+2）（3﹣4）=3，

解得：a=﹣ ，

故拋物線解析式是：y=﹣ （x+2）（x﹣4）

（2）

解：由C、B兩點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可以求得CB直線方程為：y=﹣3x+12，

∵CD⊥CB，

∴CD直線方程可以設(shè)為：

y= x+m，

將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得：m=2，

∴CD直線方程為：y= x+2，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：D（0，2），

由拋物線解析式可以頂點(diǎn)公式或?qū)ΨQ軸x=1解得頂點(diǎn)M坐標(biāo)為M（1， ），

∴由C、M兩點(diǎn)坐標(biāo)可以求得CM即CF直線方程為：y=﹣ x+ ，

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：F（0， ），

∴CE直線方程可以設(shè)為：y= x+n，

將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得：n= ，

∴CE直線方程為：y= x+ ，

令y=0，解得：x=﹣ ，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為E（﹣ ，0），

∴能；

（3）

解：由C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)可以求得CD= ，

則△FDC是等腰△可以有三種情形：

① FD=CD= ，

則F點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，2+ ），

②FC=CD= ，過C點(diǎn)作y軸垂線，垂足為H點(diǎn)，

則DH=1，

則FH=1，

則F點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，4），

③FD=FC，作DC的中垂線FG，交y軸于F點(diǎn)，交DC于G點(diǎn)，

由中點(diǎn)公式得G點(diǎn)坐標(biāo)為G（ ， ），

由DC兩點(diǎn)可以求得DC直線方程為：y= x+2，

則FG直線方程可以設(shè)為：y=﹣3x+p，

將G點(diǎn)坐標(biāo)代入解得：p=7，

故F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，7）．

【解析】（1）由拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可以由兩根式設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+2）（x﹣4），求出a的值即可；（2）由C、B兩點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可以求得CB直線方程為：y=﹣3x+12，設(shè)CD直線方程可以設(shè)為：y= x+m，求出m的值，進(jìn)而求出D點(diǎn)的值，由拋物線解析式可以頂點(diǎn)公式或?qū)ΨQ軸x=1解得頂點(diǎn)M坐標(biāo)，由C、M兩點(diǎn)坐標(biāo)可以求得CM即CF直線方程，CE直線方程可以設(shè)為：y= x+n，求出n的值，進(jìn)而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）由C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)可以求得CD= ，△FDC是等腰△可以有三種情形：①當(dāng)FD=CD；②FC=CD；③FD=FC，分別求出F點(diǎn)的坐標(biāo)即可；