【題目】愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時,發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”,即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中,AM、BN是△ABC的中線,AM⊥BN于點(diǎn)P,像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

(1)如圖1,當(dāng)tan∠PAB=1,c=4 時,a= , b=;
如圖2,當(dāng)∠PAB=30°,c=2時,a= , b=;

(2)請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,并利用圖3證明你的結(jié)論.

(3)如圖4,ABCD中,E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn),且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF與BE相交點(diǎn)G,AD=3 ,AB=3,求AF的長.

【答案】
(1)4 ;4 ;
;
(2)

結(jié)論a2+b2=5c2

證明:如圖3中,連接MN.

∵AM、BN是中線,

∴MN∥AB,MN= AB,

∴△MPN∽△APB,

= = ,

設(shè)MP=x,NP=y,則AP=2x,BP=2y,

∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2,

b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2,

c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2,

∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2


(3)

解:如圖4中,在△AGE和△FGB中,

,

∴△AGE≌△FGB,

∴BG=FG,取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn),

同理可證△APH≌△BFH,

∴AP=BF,PE=CF=2BF,

即PE∥CF,PE=CF,

∴四邊形CEPF是平行四邊形,

∴FP∥CE,

∵BE⊥CE,

∴FP⊥BE,即FH⊥BG,

∴△ABF是中垂三角形,

由(2)可知AB2+AF2=5BF2,

∵AB=3,BF= AD= ,

∴9+AF2=5×( 2

∴AF=4


【解析】(1)解:如圖1中,∵CN=AN,CM=BM,
∴MN∥AB,MN= AB=2 ,
∵tan∠PAB=1,
∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°,
∴PN=PM=2,PB=PA=4,
∴AN=BM= =2
∴b=AC=2AN=4 ,a=BC=4
故答案為4 ,4 ,
如圖2中,連接NM,
, ∵CN=AN,CM=BM,
∴MN∥AB,MN= AB=1,
∵∠PAB=30°,
∴PB=1,PA=
在RT△MNP中,∵∠NMP=∠PAB=30°,
∴PN= ,PM= ,
∴AN= ,BM= ,
∴a=BC=2BM= ,b=AC=2AN= ,
故答案分別為 ,
(1)①首先證明△APB,△PEF都是等腰直角三角形,求出PA、PB、PN、PM,再利用勾股定理即可解決問題.②連接MN,在RT△PAB,RT△PMN中,利用30°性質(zhì)求出PA、PB、PN、PM,再利用勾股定理即可解決問題.(2)結(jié)論a2+b2=5c2 . 設(shè)MP=x,NP=y,則AP=2x,BP=2y,利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題.(3)取AB中點(diǎn)H,連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn),首先證明△ABF是中垂三角形,利用(2)中結(jié)論列出方程即可解決問題.

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②點(diǎn)P表示的數(shù)為 ,點(diǎn)Q表示的數(shù)為 (用含t的代數(shù)式表示);

(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q到原點(diǎn)O的距離相等時,求t的值并求出此時點(diǎn)Q表示的數(shù);

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