【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,弦ED⊥AB于點(diǎn)F,點(diǎn)C是劣弧AD上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、D重合),連接BC交ED于點(diǎn)G.過點(diǎn)C作⊙O的切線與ED的延長線交于點(diǎn)P.
(1)求證:PC=PG;
(2)當(dāng)點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)時(shí),求證:;
(3)已知⊙O的半徑為5,在滿足(2)的條件時(shí),點(diǎn)O到BC的距離為,求此時(shí)△CGP的面積.
【答案】(1)證明詳見解析;(2)證明詳見解析;(3)10.
【解析】
試題分析:(1)連結(jié)OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥PC,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠B=∠OCG,等量代換得到∠PCG=∠BGF,根據(jù)對(duì)頂角相等得∠BGF=∠PGC,于是得到∠PGC=∠PCG,根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)連結(jié)OG,由點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),根據(jù)垂徑定理的推論得OG⊥BC,BG=CG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,等量代換得到結(jié)論;
(3)連結(jié)OE,OG=OG=,在Rt△OBG中,利用勾股定理計(jì)算出BG=,再利用可計(jì)算出BF,從而得到OF=1,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)連結(jié)OC,如圖,
∵PC為⊙O的切線,
∴OC⊥PC,
∴∠OCG+∠PCG=90°,
∵ED⊥AB,
∴∠B+∠BGF=90°,
∵OB=OC,
∴∠B=∠OCG,
∴∠PCG=∠BGF,
而∠BGF=∠PGC,
∴∠PGC=∠PCG,
∴PC=PG;
(2)解:CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系為.理由如下:
連結(jié)OG,如圖,
∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),
∴OG⊥BC,BG=CG,
∴∠OGB=90°,
∵∠OBG=∠GBF,
∴Rt△BOG∽Rt△BGF,
∴BG:BF=BO:BG,
∴,
∴;
(3)解:連結(jié)OE,如圖,
由(2)得OG⊥BC,
∴OG=,
在Rt△OBG中,OB=5,
∴BG==,
由(2)得BG2=BOBF,
∴BF==4,
∴OF=1,
∴FG==2,
過P作PH⊥BC于H,
∵PC=PG,
∴GH=CG=BG=,
∵∠PHG=∠BFG=90°,∠BGF=∠DGH,
∴△BFG∽△PHG,
∴,即,
∴PH=,
∴△CGP=CGPH=××=10.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,M是BC邊(不含端點(diǎn)B、C)上任意一點(diǎn),P是BC延長線上一點(diǎn),N是∠DCP的平分線上一點(diǎn).若∠AMN=90°,求證:AM=MN.
下面給出一種證明的思路,你可以按這一思路證明,也可以選擇另外的方法證明.
證明:在邊AB上截取AE=MC,連ME.
正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.
∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB
=180°—∠B—∠AMB
=∠MAB=∠MAE.
(下面請(qǐng)你完成余下的證明過程)
(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2),N是∠ACP的平分線上一點(diǎn),則當(dāng)∠AMN=60°時(shí),結(jié)論AM=MN是否還成立?請(qǐng)說明理由.
(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD…X”,請(qǐng)你作出猜想:當(dāng)∠AMN=°時(shí),結(jié)論AM=MN仍然成立.(直接寫出答案,不需要證明)
圖1 圖2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】可樂和奶茶含有大量的咖啡因,世界衛(wèi)生組織建議青少年每天攝入的咖啡因不能超過0.000085kg,將數(shù)據(jù)0.000085用科學(xué)記數(shù)法表示為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某同學(xué)5次數(shù)學(xué)小測驗(yàn)的成績分別為(單位:分):90,85,90,95,100,則該同學(xué)這5次成績的眾數(shù)是( 。
A.90 分B.85 分C.95 分D.100 分
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算下列各式的值:
(1)(+)﹣
(2)(﹣3)2﹣|﹣|+﹣
(3)x2﹣121=0;
(4)(x﹣5)3+8=0.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小青在八年級(jí)上學(xué)期的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤硭荆?/span>
測評(píng)類型 | 平時(shí)測驗(yàn) | 期中考試 | 期末考試 |
成績 | 86 | 90 | 81 |
如果學(xué)期總評(píng)成績根據(jù)如圖所示的權(quán)重計(jì)算,小青該學(xué)期的總評(píng)成績是______分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,且B(3,0),AB=2
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得△APC的周長最小,求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo),并求出△APC周長;
(3)設(shè)D為拋物線上一點(diǎn),E為對(duì)稱軸上一點(diǎn),若以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分線AO交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)H作直線l⊥AO于H,分別交直線AB、AC、BC、于點(diǎn)N、E、M.
(1)當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)(如圖2),求證:BN=CD;
(2)當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí),寫出CE和CD之間的等量關(guān)系,并加以證明;
(3)請(qǐng)直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系.
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