Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r(r＞1)，點P是圓內與圓心C不重合的點，⊙C的“完美點”的定義如下：過圓心C的任意直線CP與⊙C交于點A，B，若滿足|PA﹣PB|＝2，則稱點P為⊙C的“完美點”，如圖點P為⊙C的一個“完美點”．

(1)當⊙O的半徑為2時

①點M(，0)　 　⊙O的“完美點”，點(﹣，﹣)　 　⊙O的“完美點”；(填“是”或者“不是”)

②若⊙O的“完美點”P在直線y＝x上，求PO的長及點P的坐標；

(2)設圓心C的坐標為(s，t)，且在直線y＝﹣2x+1上，⊙C半徑為r，若y軸上存在⊙C的“完美點”，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)①不是，是；②PO的長為1，點P的坐標為(，)或(﹣，﹣)；(2)t的取值范圍為﹣1≤t≤3．

【解析】

（1）①利用圓的“完美點”的定義直接判斷即可得出結論.②先確定出滿足圓的“完美點”的OP的長度，然后分情況討論計算即可得出結論；（2）先判斷出圓的“完美點”的軌跡，然后確定出取極值時OC與y軸的位置關系即可得出結論.

解：(1)①∵點M(，0)，

∴設⊙O與x軸的交點為A，B，

∵⊙O的半徑為2，

∴取A(﹣2，0)，B(2，0)，

∴|MA﹣MB|＝|(+2)﹣(2﹣)|＝3≠2，

∴點M不是⊙O的“完美點”，

同理：點(﹣，﹣)是⊙O的“完美點”．

故答案為不是，是．

②如圖1，

根據題意，|PA﹣PB|＝2，

∴|OP+2﹣(2﹣OP)|＝2，

∴OP＝1．

若點P在第一象限內，作PQ⊥x軸于點Q，

∵點P在直線y＝x上，OP＝1，

∴ ．

∴P( )．

若點P在第三象限內，根據對稱性可知其坐標為(﹣，﹣)．

綜上所述，PO的長為1，點P的坐標為()或（ ）)．

(2)對于⊙C的任意一個“完美點”P都有|PA﹣PB|＝2，

∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2．

∴CP＝1．

∴對于任意的點P，滿足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，

∴|PA﹣PB|＝2，故此時點P為⊙C的“完美點”．

因此，⊙C的“完美點”是以點C為圓心，1為半徑的圓．

設直線y＝﹣2x+1與y軸交于點D，如圖2，

當⊙C移動到與y軸相切且切點在點D的上方時，t的值最大．

設切點為E，連接CE，

∵⊙C的圓心在直線y＝﹣2x+1上，

∴此直線和y軸，x軸的交點D(0，1)，F(，0)，

∴OF＝，OD＝1，

∵CE∥OF，

∴△DOF∽△DEC，

∴ ，

∴ ，

∴DE＝2，

∴OE＝3，

t的最大值為3，

當⊙C移動到與y軸相切且切點在點D的下方時，t的值最小．

同理可得t的最小值為﹣1．

綜上所述，t的取值范圍為﹣1≤t≤3．