Question

【題目】如圖，在正方形中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，），連結(jié)，以所在直線為對稱軸作點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連結(jié)，，，，點(diǎn)，，分別是線段，，的中點(diǎn)，連結(jié)，．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若四邊形的面積為，求的長；

（3）以其中兩邊為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，當(dāng)所構(gòu)造的平行四邊形恰好是菱形時(shí)，這時(shí)該菱形的面積是________．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或或．

【解析】

（1）先利用三角形中位線定理得到，故，可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)對稱性得到，即可得到，即鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故可求解；

（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)菱形的面積可求出，再根據(jù)中位線及正方形的性質(zhì)分別求出PN,PQ,CN,AQ,設(shè)，在中，得到方程求出x即可求解；

（3）過點(diǎn)作的垂線，分別交，于點(diǎn)，，分當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)分別求出菱形的面積即可．

解：（1）∵，，分別為，，的中點(diǎn)，

∴，

∴．

∴四邊形為平行四邊形．

∵與關(guān)于對稱，

∴，

∴，

∴四邊形為菱形．

（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖．

四邊形，

∴．

∵為的中點(diǎn)，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴．

∴，

∴．

設(shè)，

∴．在中，，即，

解得，

∴．

（3）菱形的面積為或或．理由如下：

如圖，過點(diǎn)作的垂線，分別交，于點(diǎn)，．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)處，

此時(shí)菱形；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)是正三角形，

∴，PK=BP=5cm，

菱形；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)是正三角形，

∴

則CL=CP=5cm，

∴，，

菱形．

綜上所述，菱形的面積為或或．