Question

【題目】在△ABC中，∠ABC＝90°，

（1）如圖1，分別過A，C兩點(diǎn)作經(jīng)過點(diǎn)B的直線的垂線，垂足分別為M、N，求證：△ABM～△BCN；

（2）如圖2，P是邊BC上一點(diǎn)，∠BAP＝∠C，PM⊥PA交AC于點(diǎn)M，＝，求的值；

（3）如圖3，D是邊CA延長線上一點(diǎn)，AE＝AB，∠DEB＝90°，AD：BC：AC＝2：3：5，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)同角的余角相等得到∠MAB＝∠NBC，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明結(jié)論；

（2）過點(diǎn)P作PD⊥AM于D．證明△PDM∽△APM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)DM＝2a，根據(jù)勾股定理求出PM，證明△CDP∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)BG＝4m，AG＝4n，根據(jù)求出n＝2m，計(jì)算即可．

（1）證明：∵AM⊥MN，

∴∠MAB+∠MBA＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBN+∠MBA＝90°，

∴∠MAB＝∠NBC，又∠AMB＝∠BNC＝90°，

∴△ABM～△BCN；

（2）解：過點(diǎn)P作PD⊥AM于D．

∴∠BAP+∠APB＝∠CPM+∠APB＝90°，

∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，

∴MP＝MC，

∵PM⊥PA，PD⊥AM，

∴△PDM∽△APM，

∵

設(shè)DM＝2a，則

由勾股定理得，

∴CD＝DM+CM＝DM+PM＝5a

則

∵∠CDP＝∠CBA＝90°，∠C＝∠C，

∴△CDP∽△CBA，

∴

（3）解：過點(diǎn)A作AG⊥BE于G，過點(diǎn)C作CH⊥BE交EB的延長線于H，

∵∠DEB＝90°，

∴CH∥AG∥DE，

∴

∵BC：AC＝3：5，

∴BC：AB＝3：4，

由（1）可知，△ABG∽△BCH，

∴

設(shè)BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，

∵AB＝AE，AG⊥BE，

∴EG＝BG＝4m，

∴GH＝BG+BH＝4m+3n，

∵

∴

解得，n＝2m，

AG＝4n＝8m，BH＝3n＝6m，

由勾股定理得

BE＝2BG＝8m，

∴