Question

【題目】如圖①，若拋物線的頂點在拋物線上，拋物線的頂點在拋物線上，（點與點不重合），我們把這樣的兩條拋物線和，互稱為“友好”拋物線．

（1）一條拋物線的“友好”拋物線有 條；

（2）如圖②，已知拋物線與軸相交于點，點關于拋物線的對稱軸的對稱點為點，求以點為頂點的的“友好”拋物線的表達式；

（3）若拋物線的“友好”拋物線的解析式為，請直接寫出與的關系式．

Answer 1

【答案】（1）無數；（2）；（3）

【解析】

(1)根據題目給的定義即可判斷一條拋物線有無數條”友好”拋物線.

(2)先設出L4的解析式,求出L3的坐標軸和頂點坐標,再將頂點坐標代入L4的解析式中即可求解.

(3)根據兩個拋物線的頂點都在對方拋物線上,列式求解即可.

（1）根據“友好”拋物線的定義,只需要確定原函數頂點和拋物線任意一點做“友好”拋物線的頂點即可作出“友好”拋物線,因此有無數條.

∴答案為:無數.

（2）把化為頂點式，得

頂點坐標為，

對稱軸為

點坐標為，

點關于對稱軸的對稱點的坐標為，

設的解析式為，

把代入，得

.

解得.

的“友好”拋物線的表達式為：.

（3）由題意可得:,整理得,(a1+a2)(m-h)2=0,

∵頂點不重合,∴m≠h,

∴.