Question

【題目】如圖， 已知拋物線的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點（B點在A點右側(cè)）與y軸交于C點 ．

（1）求拋物線的解析式和A、B兩點的坐標(biāo)；

（2）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；

（3）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當(dāng)MN=3時，求M點的坐標(biāo) ．

Answer 1

【答案】（1），點A的坐標(biāo)為(-2，0)，點B的坐標(biāo)為(8，0)；（2）存在點P，使△PBC的面積最大，最大面積是16，理由見解析；（3）點M的坐標(biāo)為(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．

【解析】

（1） 由拋物線的對稱軸為直線x=3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出a值， 進而可得出拋物線的解析式， 再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征， 即可求出點A、B的坐標(biāo)；

（2） 利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點C的坐標(biāo)， 由點B、C的坐標(biāo)， 利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式， 假設(shè)存在， 設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,），過點P作PD//y軸， 交直線BC于點D，則點D的坐標(biāo)為（x,），PD=- x2+2x，利用三角形的面積公式即可得出三角形PBC的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式， 再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

（3） 設(shè)點M的坐標(biāo)為（m,），則點N的坐標(biāo)為（m,），進而可得出MN，結(jié)合MN=3即可得出關(guān)于m的含絕對值符號的一元二次方程， 解之即可得出結(jié)論 ．

（1）拋物線的對稱軸是直線，

，解得：，

拋物線的解析式為．

當(dāng)時，，

解得：，，

點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．

（2） 當(dāng)時，，

點的坐標(biāo)為．

設(shè)直線的解析式為．

將、代入，

，解得：，

直線的解析式為．

假設(shè)存在， 設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作軸， 交直線于點，則點的坐標(biāo)為，如圖所示 ．

，

．

，

當(dāng)時，的面積最大， 最大面積是 16 ．

，

存在點，使的面積最大， 最大面積是 16 ．

（3） 設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，

．

又，

．

當(dāng)時， 有，

解得：，，

點的坐標(biāo)為或；

當(dāng)或時， 有，

解得：，，

點的坐標(biāo)為，或，．

綜上所述：點的坐標(biāo)為，、、或，．