【題目】如圖①,在△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P

(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度數(shù);

(2)如圖②,作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分線交于點Q,試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖③,延長線段BP、QC交于點E△BQE中,存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍,求∠A的度數(shù).

【答案】(1)∠P=130°;(2)∠Q=90°-∠A;(3)∠A=60°、120°、90°

【解析】試題分析:(1)運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義,首先求出1+2,進而求出BPC即可解決問題;

2)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出MBCBCN,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得CBQ+BCQ,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解;

3)在BQE中,由于Q=90°A,求出E=A,EBQ=90°,所以如果BQE中,存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍,那么分四種情況進行討論:①∠EBQ=2E=90°;②∠EBQ=2Q=90°③∠Q=2E④∠E=2Q;分別列出方程,求解即可.

試題解析:(1)如圖ABC中,A+ABC+ACB=180°,且A=80°,∴∠ABC+ACB=100°∵∠1=ABC,2=ACB,∴∠1+2=ABC+ACB=×100°=50°∴∠BPC=180°1+2=180°50°=130°

2)如圖,∵∠MBC=A+ACBBCN=ABC+A,∴∠MBC+BCN=A+ABC+ACB+A=180°+A

BE,CQ分別為ABC的外角MBC,NCB的角平分線,∴∠CBQ+BCQ=180°+A),∴∠Q=180°CBQ+BCQ=90°A

3)如圖,連結(jié)BC并延長到點F

CQABC的外角NCB的角平分線,CEABC的外角ACF的平分線,∴∠ACF=2ECFBE平分ABC,∴∠ABC=2EBC,∵∠ECF=EBC+E,2ECF=2EBC+2E,即ACF=ABC+2E,又∵∠ACF=ABC+A,∴∠A=2E,即E=A;

∵∠EBQ=EBC+CBQ

=ABC+MBC

=ABC+A+ACB=90°

如果BQE中,存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍,那么分四種情況:

①∠EBQ=2E=90°,則E=45°,A=2E=90°;

②∠EBQ=2Q=90°,則Q=45°,E=45°,A=2E=90°

③∠Q=2E,則90°A=A,解得A=60°;

④∠E=2Q,則A=290°A),解得A=120°

綜上所述,A的度數(shù)是90°60°120°

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