Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)E在邊AD上，且AE：ED=1：3．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB 運(yùn)動到點(diǎn)B停止．過點(diǎn)E作EF⊥PE交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)M是線段EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動的整個過程中，點(diǎn)M運(yùn)動路線的長為______．

Answer 1

【答案】4

【解析】過點(diǎn)M作GH⊥AD，證明△EGM≌△FHM，得到MG=MH，從而可知：點(diǎn)M的軌跡是一條平行于BC的線段，然后證明△EF1B∽△∠EF1F2，求得F1F2=8，最后根據(jù)三角形中位線定理可求得答案．

解：如圖所示：過點(diǎn)M作GH⊥AD.

∵AD∥CB，GH⊥AD，

∴GH⊥BC.

在△EGM和△FHM中，

∴△EGM≌△FHM.

∴MG=MH.

∴點(diǎn)M的軌跡是一條平行于BC的線段

當(dāng)點(diǎn)P與A重合時,BF1=AE=2，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時,∠F2+∠EBF1=90,∠BEF1+∠EBF1=90，

∴∠F2=∠EBF1.

∵∠EF1B=∠EF1F2，

∴△EF1B∽△∠EF1F2.

∴，

即

∴F1F2=8，

∵M1M2是△EF1F2的中位線，

∴M1M2= F1F2=4.

故答案為：4.