Question

【題目】如圖，等腰直角△OEF在坐標(biāo)系中，有E(0，2)，F(﹣2，0)，將直角△OEF繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，且A在第一象限內(nèi)，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，E．且2a+3b+5=0．

（1）求拋物線的解析式．

（2）過ED的中點(diǎn)O'作O'B⊥OE于B，O'C⊥OD于C，求證：OBO'C為正方形．

（3）如果點(diǎn)P由E開始沿EA邊以每秒2厘米的速度向點(diǎn)A移動，同時點(diǎn)Q由點(diǎn)A沿AD邊以每秒1厘米的速度向點(diǎn)D移動，當(dāng)點(diǎn)P移動到點(diǎn)A時，P，Q兩點(diǎn)同時停止，且過P作GP⊥AE，交DE于點(diǎn)G，設(shè)移動的開始后為t秒．

①若S=PQ2(厘米)，試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍？

②當(dāng)S取最小時，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P，A，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）①S=5t2﹣8t+4(0＜t≤2)；②點(diǎn)R的坐標(biāo)為：(，)或(，)．

【解析】

（1）根據(jù)題意結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)E點(diǎn)坐標(biāo)得出c的值，最后進(jìn)一步求解即可；

（2）根據(jù)題意先證明OBO'C為矩形，再利用三角形中位線性質(zhì)結(jié)合題意得出O'B=OC'，據(jù)此進(jìn)一步證明即可；

（3）根據(jù)題意列出關(guān)系式加以化簡即可；②根據(jù)題意分AP是邊時以及PA是對角線時兩種情況進(jìn)一步分析討論即可．

（1）∵E、F坐標(biāo)分別為：E(0，2)，F(﹣2，0)，

∴OF=OE=2，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：AE=OE=2，AD=OF=2，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為：(2，2)，

將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并整理得： c=2，

又∵A點(diǎn)坐標(biāo)為：(2，2)，

∴4a+2b=0，

而2a+3b+5=0，

將上述二式聯(lián)立并解得：a= ，b=-，

故拋物線的表達(dá)式為：；

（2）如圖所示，

∵O'B⊥OE，O'C⊥OD，∠EOD=90°，故OBO'C為矩形，

又∵O'是ED的中點(diǎn)，O'B⊥OE，

則O'B=OD，

∵O'C⊥OD，

∴同理可得：O'C=OE，

∵OE=OD，

∴O'B=OC'

∴OBO'C為正方形；

（3）①點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：(2t，2)、(2，2﹣t)，

S=PQ2=(2t﹣2)2+(t)2=5t2﹣8t+4(0＜t≤2)；

②S=5t2﹣8t+4(0＜t≤2)；

∵5＞0，故S有最小值，此時t=，

則點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：(，2)、(2，)，而點(diǎn)A(2，2)，

設(shè)：點(diǎn)R(m，n)，n=m2﹣m+2；

(Ⅰ)當(dāng)AP是邊時，

點(diǎn)P向右平移個單位得到A，

同樣點(diǎn)Q(R)向右平移個單位得到R(Q)，

即2=m，解得：m=或，

故點(diǎn)R(，)或(，)；

(Ⅱ)當(dāng)PA是對角線時，

由中點(diǎn)公式得：2+=m+2，

解得：m=，故點(diǎn)R(，)；

綜上，點(diǎn)R的坐標(biāo)為：(，)或(，)．