Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝3，若點P為△ABC內一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長度的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由等邊三角形的性質得出∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=3，求出∠APC=120°，當PB⊥AC時，PB長度最小，設垂足為D，此時PA=PC，由等邊三角形的性質得出AD=CD=AC=，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，求出PD=AD．tan30°=AD=，BD=AD=，即可得出答案．

解：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，

∵∠PAB＝∠ACP，

∴∠PAC+∠ACP＝60°，

∴∠APC＝120°，

∴點P的運動軌跡是，當O、P、B共線時，PB長度最小，設OB交AC于D，如圖所示：

此時PA＝PC，OB⊥AC，

則AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，

∴PD＝ADtan30°＝×＝，

BD＝AD＝，

∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．

故答案為：．