【題目】如圖,在直角坐標系中,矩形邊在軸上,點坐標為、的長分別為3、8的中點,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點,與邊交于點

1)求的值及經(jīng)過、兩點的一次函數(shù)的表達式;

2)若軸上有一點,使的值最小,試求出點的坐標;

3)在(2)的條件下,連接、,在直線上找一點,使得直接寫出符合條件的點坐標.

【答案】1k=12,一次函數(shù)的表達式為:y=x;(2P(50);(3(,)()

【解析】

1)先確定出點BC坐標,進而得出點E坐標,最后用待定系數(shù)法,即可求出直線AE解析式;
2)先找出點F關(guān)于x軸的對稱點F'的坐標,進而求出直線EF'的解析式,即可得出結(jié)論;
3)先利用面積和差求出三角形PEF的面積,再求出直線EF的解析式,設(shè)出點Q的坐標,過點Qy軸的平行線交直線EFG,表示出點G的坐標,利用坐標系中求三角形面積的方法建立方程求解,即可得出結(jié)論.

1)在矩形ABCD中,AB=3,AD=8,

CD=AB=3,BC=AD=8

D(6,0),

A(6,8)C(3,0)B(3,8),

EBC的中點,

E(3,4),

∵點E在反比例函數(shù)的圖象上,

k=3×4=12,

設(shè)經(jīng)過A、E兩點的一次函數(shù)的表達式為:y=ax+b,

,解得:,

∴經(jīng)過A.E兩點的一次函數(shù)的表達式為:y=x;

2)如圖1,由(1)可知,k=12,

∴反比例函數(shù)的解析式為:,

∵點F的橫坐標為6,

∴點F的縱坐標為2,

F(62),

作點F關(guān)于x軸的對稱點F′,則F′(62),

連接EF′x軸于P,此時,PE+PF的值最小,

E(34),

∴由待定系數(shù)法可得:直線EF′的解析式為:y=2x+10,

y=0,則2x+10=0

x=5,

P(5,0)

3)如圖2,由(2)知,F′(6,2),

E(3,4)F(6,2)

SPEF=SEFF′SPFF′=×(2+2)×(3+6) ×(2+2)×(5+6)=4,

E(34),F(62),

∴由待定系數(shù)法得:直線EF的解析式為:y=x+6,

由(1)知,經(jīng)過A.、E兩點的一次函數(shù)的表達式為:y=x,

設(shè)點Q(m,m)

過點Qy軸的平行線交直線EFG,

G(mm+6)

QG=|mm6|=|2m+6|,

SQEF=SPEF,

SQEF=|2m+6|×(3+6)=4,

m=m=

Q(,)(,)

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