【題目】如圖,ABCD中,AB=2,以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑的圓交邊BC于點(diǎn)E,連接DE、AC、AE.

(1)求證:△AED≌△DCA;
(2)若DE平分∠ADC且與⊙A相切于點(diǎn)E,求圖中陰影部分(扇形)的面積.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB=CD,AD∥BC,

∴四邊形AECD是梯形,

∵AB=AE,

∴AE=CD,

∴四邊形AECD是等腰梯形,

∴AC=DE,

在△AED和△DCA中,

∴△AED≌△DCA(SSS)


(2)解:∵DE平分∠ADC,

∴∠ADC=2∠ADE,

∵四邊形AECD是等腰梯形,

∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE,

∵DE與⊙A相切于點(diǎn)E,

∴AE⊥DE,

即∠AED=90°,

∴∠ADE=30°,

∴∠DAE=60°,

∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴∠BAD=∠DCE=120°,

∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°,

∴S陰影= ×π×22= π.


【解析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)和等腰梯形的判定與性質(zhì)可證得全等;(2)由切線的性質(zhì)定理和等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)求出陰影扇形的圓心角度數(shù),進(jìn)而求出面積.
【考點(diǎn)精析】利用平行四邊形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知平行四邊形的對(duì)邊相等且平行;平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對(duì)角線互相平分;切線的性質(zhì):1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,已知∠DAB+∠D=180°,AC平分∠DAB,且∠CAD=25°,∠B=95°

1∠DCA的度數(shù);

2∠DCE的度數(shù).

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【題目】已知,,點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與重合),點(diǎn)邊上一個(gè)定點(diǎn), 過(guò)點(diǎn),交直線于點(diǎn),連接,過(guò)點(diǎn),交直線于點(diǎn)

如圖,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),求證:

的條件下,判斷這三個(gè)角的度數(shù)和是否為一個(gè)定值? 如果是,求出這個(gè)值,如果不是,說(shuō)明理由.

如圖,當(dāng)點(diǎn)在線段 的延長(zhǎng)線上時(shí),(2)中的結(jié)論是否仍然成立?如果不成立, 請(qǐng)直接寫(xiě)出之間的關(guān)系.

)當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),(2)中的結(jié)論是否仍然成立?如果不成立,請(qǐng)直接 寫(xiě)出之間的關(guān)系.

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【題目】如圖, 直線軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn),點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn), 點(diǎn)上一動(dòng)點(diǎn), 當(dāng)最小時(shí), 點(diǎn)的坐標(biāo)為  

A. B. C. ,D. ,

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【題目】已知BD垂直平分AC,∠BCD=∠ADF,AF⊥AC,

1)證明ABDF是平行四邊形;

2)若AF=DF=5,AD=6,求AC的長(zhǎng).

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【題目】如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OA平分EOC

(1)若EOC=70°,求BOD的度數(shù);

(2)若EOCEOD=2:3,求BOD的度數(shù).

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【題目】(本題8分)已知:如圖,ABC中,DAB的中點(diǎn),EAC上一點(diǎn),EFAB,DFBE

(1)猜想:DFAE的關(guān)系是______.

(2)試說(shuō)明你猜想的正確性.

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【題目】問(wèn)題情境:如圖1ABCD,∠PAB=135°,∠PCD=125°.求∠APC度數(shù).小明的思路是:如圖2,過(guò)PPEAB,通過(guò)平行線性質(zhì),可求得∠APC的度數(shù).請(qǐng)寫(xiě)出具體求解過(guò)程.

問(wèn)題遷移:

(1)如圖3,ADBC,點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)PA、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),∠ADP=α,∠BCP=β.∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)(1)的條件下,如果點(diǎn)PA、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合),請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系.

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