Question

【題目】已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，P為弧BC上一點（與點B、C不重合），

（1）如果點P是弧BC的中點，求證：PB+PC=PA；

（2）如果點P在弧BC上移動時，（1）的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）結(jié)論成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）連OB，OC，由點P是弧BC的中點，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，根據(jù)垂徑定理的推論得到AP為⊙O的直徑，易得△OBP和△OPC都是等邊三角形，于是得到結(jié)論；

（2）截取PE=PC，則△PEC為等邊三角形，得到CE=CP，∠PCE=60°，易證△CAE≌△CBP，得到AE=PB，即有PB+PC=PA．

（1）連OB，OC，如圖

∵點P是弧BC的中點，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，

∴AP為⊙O的直徑，

∴∠BPO=∠ACB，∠APC=∠ABC，

∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠BPO=∠APC=60°，

∴△OBP和△OPC都是等邊三角形，

∴PB=PC=OP=OA，

∴PB+PC=PA；

（2）（1）的結(jié)論還成立．理由如下：

截取PE=PC，

∵∠APC=60°，

∴△PEC為等邊三角形，

∴CE=CP，∠PCE=60°，

而∠ACB=60°，

∴∠ACE=∠BCP，

而CA=CB，

∴△CAE≌△CBP，

∴AE=PB，

∴PB+PC=PA．