觀察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

（1）猜想并寫出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
；
（2）計(jì)算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
．
分析：（1）觀察可得結(jié)果是分子均為1，分母分別為相鄰2個(gè)數(shù)的分?jǐn)?shù)的差；
（2）利用（1）得到的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：（1）
1
1×2
=
1
1
-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
…
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；
故答案為
1
n
-
1
n+1
；

（2）原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1

=
n+1-1
n+1

=
n
n+1
．
點(diǎn)評(píng)：考查分?jǐn)?shù)的規(guī)律性計(jì)算；得到分子為1，分母為相鄰2個(gè)數(shù)的分?jǐn)?shù)的拆分方法是解決本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
把以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并寫出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
=
2008
2009
2008
2009
；
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
．
（3）探究并計(jì)算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2006×2008
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

附加題：
（1）已知|a-2|+|b+6|=0，則a+b=
-4
-4
．
（2）觀察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，將以上三個(gè)等式相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
①猜想并寫出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
②直接寫出結(jié)果：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2006×2007
=
2006
2007
2006
2007
．
（3）在數(shù)軸上有兩點(diǎn)，它們到原點(diǎn)的距離分別是2和3，問這兩點(diǎn)之間的距離是多少？
（4）求|
1
2
-1|+|
1
3
-
1
2
|+…+|
1
99
-
1
98
|+|
1
100
-
1
99
|的值．
（5）如圖所示，數(shù)軸上有四點(diǎn)A，B，C，D分別表示有理數(shù)a，b，c，d，用“＜”把表示a，b，c，d，|a|，|b|，-|c|，-|d|的數(shù)連接起來．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，將以上三個(gè)等式相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并寫出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）直接寫出結(jié)果：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2006×2007
=
2006
2007
2006
2007
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列等式：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2006×2007
=
2006
2007
2006
2007
；
（2）探究并計(jì)算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2006×2008
．

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