Question

觀察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，將以上三個等式相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接寫出結(jié)果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=

2006

2007

．

Answer 1

分析：（1）由已知的三等式，歸納總結(jié)即可得到結(jié)果；
（2）利用（1）總結(jié)的規(guī)律將所求式子拆項，抵消合并即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)題中的一系列等式，可得

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2006

-

1

2007

=1-

1

2007

=

2006

2007

．
故答案為：（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）

2006

2007

點評：此題考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)的混合運算首先弄清運算順序，先乘方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里邊的，同級運算從左到右依次進行計算，然后利用各種運算法則計算，有時可以利用運算律來簡化運算．