Question

觀察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
把以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫(xiě)出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

=

2008

2009

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．
（3）探究并計(jì)算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2006×2008

．

Answer 1

分析：觀察得到分子為1，分母為兩個(gè)相鄰整數(shù)的分?jǐn)?shù)可化為這兩個(gè)整數(shù)的倒數(shù)之差，即

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；然后根據(jù)此規(guī)律把各分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算．對(duì)于（3）先提

1

4

出來(lái)，然后和前面的運(yùn)算方法一樣．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2008

-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2006×2008

=

1

4

×（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1003×1004

）
=

1

4

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

1003

-

1

1004

）
=

1

4

×（1-

1

1004

）
═

1

4

×

1003

1004

=

1003

4016

．
故答案為：

1

n

-

1

n+1

；

2008

2009

；

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了關(guān)于數(shù)字變化的規(guī)律：通過(guò)觀察數(shù)字之間的變化規(guī)律，得到一般性的結(jié)論，再利用此結(jié)論解決問(wèn)題．