Question

【題目】對(duì)于平面上兩點(diǎn)A，B，給出如下定義：以點(diǎn)A或B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓稱(chēng)為點(diǎn)A，B的“確定圓”．如圖為點(diǎn)A，B的“確定圓”的示意圖．

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），則點(diǎn)A，B的“確定圓”的面積為______；

（2）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），若直線y＝x＋b上只存在一個(gè)點(diǎn)B，使得點(diǎn)A，B的“確定圓”的面積為9π，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)A在以P（m，0）為圓心，以1為半徑的圓上，點(diǎn)B在直線上，若要使所有點(diǎn)A，B的“確定圓”的面積都不小于9π，直接寫(xiě)出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）25π；（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為或；（3）m≤－5或m≥11

【解析】

(1)根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)，根據(jù)圓的面積公式，可得答案；

(2)根據(jù)確定圓,可得l與⊙A相切,根據(jù)圓的面積,可得AB的長(zhǎng)為3,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得，可得答案；

(3)根據(jù)圓心與直線垂直時(shí)圓心到直線的距離最短,根據(jù)確定圓的面積,可得PB的長(zhǎng),再根據(jù)30°的直角邊等于斜邊的一半，可得CA的長(zhǎng).

（1）(1)∵A的坐標(biāo)為(1,0)，B的坐標(biāo)為(3,3)，

∴AB==5，

根據(jù)題意得點(diǎn)A，B的“確定圓”半徑為5，

∴S圓=π×52=25π．

故答案為25π；

（2）∵直線y＝x＋b上只存在一個(gè)點(diǎn)B，使得點(diǎn)A，B的“確定圓”的面積

為9π，

∴⊙A的半徑AB＝3且直線y＝x＋b與⊙A相切于點(diǎn)B，如圖，

∴AB⊥CD，∠DCA＝45°．

，

①當(dāng)b＞0時(shí)，則點(diǎn)B在第二象限．

過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵在Rt△BEA中，∠BAE＝45°，AB＝3，

∴．

∴．

②當(dāng)b＜0時(shí)，則點(diǎn)B'在第四象限．

同理可得．

綜上所述，點(diǎn)B的坐標(biāo)為或．

（3）如圖2，

，

直線當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，即C（3，0）．

∵tan∠BCP＝，

∴∠BCP＝30°，

∴PC＝2PB．

P到直線的距離最小是PB＝4，

∴PC＝8．

3－8＝－5，P1（－5，0），

3＋8＝11，P（11，0），

當(dāng)m≤－5或m≥11時(shí)，PD的距離大于或等于4，點(diǎn)A，B的“確定圓”的面積都不小于9π．

點(diǎn)A，B的“確定圓”的面積都不小于9π，m的范圍是m≤－5或m≥11．