Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣2x+42交x軸于點(diǎn)A，交直線y=x于點(diǎn)B，拋物線y=ax²﹣2x+c分別交線段AB、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)分別為16和4，點(diǎn)P在這條拋物線上．

（1）求點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)．
（2）求a、c的值．
（3）若Q為線段OB上一點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5，求線段PQ的長(zhǎng)．
（4）若Q為線段OB或線段AB上一點(diǎn)，PQ⊥x軸，設(shè)P、Q兩點(diǎn)間的距離為d（d＞0），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，直接寫出d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

（1）C的縱坐標(biāo)為16，D的縱坐標(biāo)為4，(2)a=,c="10" (3)PQ=2±3(4)0≦m≦4或8≦m≦16.

試題分析：解：(1）∵點(diǎn)C在直線AB：y=﹣2x+42上，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為16，
∴y=﹣2×16+42=10，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為10；
∵D點(diǎn)在直線OB：y=x上，且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4；
（2）由（1）知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（16，10），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），
∵拋物線y=ax²﹣2x+c經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)，
∴，
解得：a=，c=10，
∴拋物線的解析式為y=x²﹣2x+10；
（3）∵Q為線段OB上一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為5，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為5，
∵點(diǎn)Q在拋物線上，縱坐標(biāo)為5，
∴x²﹣2x+10=5，
解得x₁=8+2，x₂=8﹣2，
當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8+2，5），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長(zhǎng)為2+3，
當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8﹣2，5），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長(zhǎng)為2﹣3．
所以線段PQ的長(zhǎng)為2+3或2﹣3．
（4）根據(jù)題干條件：PQ⊥x軸，可知P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，
拋物線y=x²﹣2x+10=（x﹣8）²+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（8，2），
聯(lián)立解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（14，14），
①當(dāng)點(diǎn)Q為線段OB上時(shí)，如圖所示，當(dāng)0≤m≤4或8≤m≤14時(shí)，d隨m的增大而減小，
②當(dāng)點(diǎn)Q為線段AB上時(shí)，如圖所示，當(dāng)14≤m≤16時(shí)，d隨m的增大而減小，
綜上所述，當(dāng)0≤m≤4或8≤m≤16時(shí)，d隨m的增大而減小．

點(diǎn)評(píng)：熟知以上性質(zhì)，本題有四問(wèn)較多，計(jì)算量也很大，需要細(xì)心審題解答，綜合性較強(qiáng)，易出錯(cuò)，本題難度偏大，復(fù)雜，屬于難題。