【題目】如圖,BD和CD分別平分△ABC的內(nèi)角∠EBA和外角∠ECA,BD交AC于F,連接AD.
(1)求證:∠BDC=∠BAC;
(2)若AB=AC,請(qǐng)判斷△ABD的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)在(2)的條件下,若AF=BF,求∠EBA的大。
【答案】(1)見解析;(2)△ABD為等腰三角形;見解析;(3)∠ABC=72°.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)角平分線的定義得到∠BDC+∠ABC=∠ACE,∠BAC+∠ABC=∠ACE,于是得到∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC,等量代換即可得到結(jié)論;
(2)作DM⊥BG于M,DN⊥AC于N,DH⊥BE于H根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DM=DH,DN=DH,等量代換得到DM=DN,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,推出∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB,由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB,等量代換得到∠GAD=∠ABC,推出AD∥BC,由平行線的性質(zhì)得到∠ADB=∠DBC,證得∠ABD=∠ADB,即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAF=∠ABF=∠ABC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.
解:(1)∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA,BD交AC于F,
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE,∠BAC+∠ABC=∠ACE,
∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC,
∴∠BDC=∠BAC.
(2)△ABD為等腰三角形,證明如下:
作DM⊥BG于M,DN⊥AC于N,DH⊥BE于H
∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA,
∴DM=DH,DN=DH,
∴DM=DN,
∴AD平分∠CAG,即∠GAD=∠CAD,
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠GAD=∠ABC,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
又∵∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
∴△ABD為等腰三角形;
(3)∵AF=BF,
∴∠BAF=∠ABF=∠ABC,
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=180°,
∴∠ABC=72°.
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【題目】在ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線EF分別交線段AD、BC于點(diǎn)E、F.
(1)根據(jù)題意,畫出圖形,并標(biāo)上正確的字母;
(2)求證:DE=BF.
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【題目】某商場(chǎng)促銷,小魚將促銷信息告訴了媽媽,假設(shè)某一商品的定價(jià)為,并列出不等式為,那么小魚告訴媽媽的信息是( )
A. 買兩件等值的商品可減100元,再打三折,最后不到1000元
B. 買兩件等值的商品可打三折,再減100元,最后不到1000元
C. 買兩件等值的商品可減100元,再打七折,最后不到1000元
D. 買兩件等值的商品可打七折,再減100元,最后不到1000元
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若a,b,c是直角三角形的三條邊長(zhǎng),斜邊c上的高的長(zhǎng)是h,給出下列結(jié)論:
①以a2,b2,c2的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成一個(gè)三角形
②以, , 的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成一個(gè)三角形
③以a+b,c+h,h的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成直角三角形
④以, , 的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成直角三角形
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為______.
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【題目】如圖,在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),AD與FE、BE分別交于點(diǎn)G、H,∠CBE=∠BAD.有下列結(jié)論:①FD=FE;②AH=2CD;③BCAD= AE2;④S△ABC=4S△ADF . 其中正確的有( )
A.1個(gè)
B.2 個(gè)
C.3 個(gè)
D.4個(gè)
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【題目】閱讀下面的對(duì)話:
MM:“請(qǐng)幫我稱些梨.”
售貨員:“您上次買的梨賣沒了,您試一試新進(jìn)的蘋果,價(jià)格雖然比梨貴些,但蘋果營(yíng)養(yǎng)價(jià)
值更高.”
MM:“好,我跟上次一樣,也買30元錢.”
對(duì)比兩次的電腦小票,MM發(fā)現(xiàn):每千克蘋果的價(jià)格是梨的1.5倍,蘋果的重量比梨輕2.5
千克.
根據(jù)上面的對(duì)話和MM發(fā)現(xiàn),分別求出蘋果和梨的單價(jià).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),且它們的速度都為1cm/s。
⑴連接AQ、CP交于點(diǎn)M,在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中,∠CMQ的大小變化嗎?若變化,則說明理由,若不變,請(qǐng)直接寫出它的度數(shù);
⑵點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,當(dāng)t為何值時(shí),△PBQ為直角三角形?
⑶如圖2,若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng),直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則∠CMQ的大小變化嗎?則說明理由;若不變,請(qǐng)求出它的度數(shù)。
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【題目】如圖1,在直角坐標(biāo)系xoy中,直線l:y=kx+b交x軸,y軸于點(diǎn)E,F(xiàn),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,2),過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線,垂足為A、C,點(diǎn)D是線段CO上的動(dòng)點(diǎn),以BD為對(duì)稱軸,作與△BCD或軸對(duì)稱的△BC′D.
(1)當(dāng)∠CBD=15°時(shí),求點(diǎn)C′的坐標(biāo).
(2)當(dāng)圖1中的直線l經(jīng)過點(diǎn)A,且k=﹣ 時(shí)(如圖2),求點(diǎn)D由C到O的運(yùn)動(dòng)過程中,線段BC′掃過的圖形與△OAF重疊部分的面積.
(3)當(dāng)圖1中的直線l經(jīng)過點(diǎn)D,C′時(shí)(如圖3),以DE為對(duì)稱軸,作于△DOE或軸對(duì)稱的△DO′E,連結(jié)O′C,O′O,問是否存在點(diǎn)D,使得△DO′E與△CO′O相似?若存在,求出k、b的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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