【題目】如圖1,點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊ABCABBC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),且它們的速度都為1cms。

⑴連接AQ、CP交于點(diǎn)M,在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,∠CMQ的大小變化嗎?若變化,則說(shuō)明理由,若不變,請(qǐng)直接寫出它的度數(shù);

⑵點(diǎn)PQ在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,當(dāng)t為何值時(shí),PBQ為直角三角形?

⑶如圖2,若點(diǎn)PQ在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng),直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則∠CMQ的大小變化嗎?則說(shuō)明理由;若不變,請(qǐng)求出它的度數(shù)。

【答案】見解析

【解析】試題分析:(1)因?yàn)辄c(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),且它們的速度都為1cm/s,所以AP=BQAB=AC∠B=∠CAP=60°,因而運(yùn)用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP.再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角形的角間關(guān)系、三角形的外角定理,可求得CQM的度數(shù);

2)設(shè)時(shí)間為t,則AP=BQ=t,PB=4-t.分別就當(dāng)∠PQB=90°時(shí);當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)利用直角三角形的性質(zhì)定理求得t的值;

3)首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA,再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到∠BPC=∠MQC.再運(yùn)用三角形角間的關(guān)系求得∠CMQ的度數(shù).

試題解析:(1∠CMQ不變.

AC="BA," ∠A=∠B, AP="BQ,"

∴△ACP≌△BAQ, ∴∠ACP=∠BAQ,

∴∠CMQ=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°

∴∠CMQ恒等于60°,不發(fā)生變化.

2)設(shè)運(yùn)動(dòng)了t

當(dāng)△PBQRt三角形時(shí) ∠B="60°"

當(dāng)∠BPQ=30°時(shí) ∴PB="AB-BP=4-t=2BQ=2t" 解得t=

當(dāng)∠PQB=30°時(shí) 則BQ=t=2PB=2AB-AP=24-t) 解得t=

3∠CMQ不變.

∵AC=CB,∠ACQ=120°=∠CBP, CQ="BP,"

∴△ACQ≌△CBP, ∴∠CAQ=∠BCP,

∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACM=∠BCP+∠ACM=∠MCQ+∠ACM=∠ACQ=120°

∴∠CMQ恒等于120°,不會(huì)發(fā)生變化.

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