Question

【題目】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，顯然∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．

（1）請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再通過(guò)探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明：勾股定理a2+b2＝c2；

（2）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，在AB上有一個(gè)供應(yīng)站P，且PC＝PD，求出AP的距離；

（3）借助（2）的思考過(guò)程與幾何模型，直接寫(xiě)出代數(shù)式的最小值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）16千米；（3）20　．

【解析】

（1）表示出三個(gè)圖形的面積進(jìn)行加減計(jì)算可證a2+b2＝c2

（2）以（1）中關(guān)于直角三角形的結(jié)論和K型模型建立方程關(guān)系，解方程可得AP的值

（3）將條件中的數(shù)表示為直角三角形的直角邊，畫(huà)對(duì)應(yīng)圖形，作軸對(duì)稱圖形，在三點(diǎn)共線時(shí)有最小值．

解：（1）梯形ABCD的面積

四邊形AECD的面積

△EBC的面積

∵梯形ABCD的面積＝四邊形AECD的面積+△EBC的面積

∴

∴a2+b2＝c2

（2）如圖，當(dāng)DP＝PC時(shí)

設(shè)AP＝a，BP＝40﹣a

∵DP2＝CP2

∴AP2+AD2＝BP2+CB2

∴a2+242＝（40﹣a）2+162

解得 a＝16

∴AP＝16千米

（3）如圖，

∴AB+BC的最小值即為H、B、C三點(diǎn)共線時(shí)

HC＝＝20

∴的最小值為20

故答案為:20